Question

设数列{an}的前n项和为Sn=a(n+1)-1. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)bn=2^n/((an+1)[a(n+1)+1],Tn=b1+b2+……+bn,求证：1/3≤Tn＜1

Answer 1

Sn=a(n+1)-1.
S(n-1)=an-1 相减
an=a(n+1)-an
a(n+1)=2an 等比数列
a1=S1=a2-1=2a1-1 a1=1 an=2^(n-1)

2. bn=2^n/((an+1)[a(n+1)+1]=2[1/(an+1)-1/(a(n+1)+1)]
Tn=2[1/2-1/3+1/3-1/5+……+1/(an+1)-1/(a(n+1)+1)]
=2[1/2-1/(a(n+1)+1)]
=(2^n-1)/(2^n+1)
=1-2/(2^n+1)
n=1 Tn=1/3 n-->+∽ 2/(2^n+1)-->0 Tn-->1
所以 1/3≤Tn＜1

Answer 2

（1） an = sn - s(n-1) = a(n+1) - 1 - an +1 = a(n+1) -an
a(n+1) = 2an
s1= a2-1 = a1
a2 = 2a1 = a1 + 1
a1 = 1
an = 2^(n-1)

(2) bn=2^n/((an+1)[a(n+1)+1],
分母请写清楚，包括哪几项

Answer 3

1、Sn=a(n+1)-1，s（n-1）=an-1，sn-s(n-1)=a(n+1)-an=an，a（n+1）=2an；
s1=a2-1=a1=2a1-1，a1=1，an=2^（n-1)；
2、bn=2^n/((an+1)[a(n+1)+1]=2^n/(2^(n-1)+1)(2^n+1)=2（1/（2^（n-1)+1)-1/（2^n+1)）
Tn=2【（1/（1+1）-1/（2+1））+（1/（2+1）-1/（4+1））+…+（1/（2^（n-1)+1)-1/（2^n+1)）】
=2【1/2-1/（2^n+1)】
=1-2/（2^n+1)，当n=1时，有最小值Tn=1-2/（2+1）=1/3，当n→∞时，Tn无限接近于1，故1/3≤Tn＜1