Question

已知抛物线y=x²-2x+a(a<0)与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=1/2x-a与z轴，y轴相交于BC，与直线AM交于点

1.用含a的代数式表示M N
2.如图，将△NAC沿y轴翻折，弱点N的对应点N'恰好落在抛物线上，AN'与x轴交于D，连接CD，求a的值和四边形ADCN面积
3.在抛物线y=x2-2x+a(a＜0)上是否纯在一点P，使得以PACN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标

Answer 1

1.
A(0，a)、M(1，a-1)
设MN解析式为y=k1·x + b1
把A、M坐标代入得
a=b
k1+b1=a-1
解得
k1=-1
b1=a
∴y=-x+a

2.
由MN和BC构成方程组
y=-x+a
y=(1/2)x-a
解得
x=4a/3，y= -a/3
∴N坐标为(4a/3，-a/3)
∵N、N’关于y轴对称
∴N’坐标为(-4a/3，-a/3)
又∵点N’在抛物线y=x²-2x+a上
∴把N’代入得
-a/3=(-4a/3)²+(8a/3)+a
解得a=0(舍)，a= -9/4

∴A(0，-9/4)、N’(3，3/4)、N(-3，3/4)
根据A和N’坐标求出直线AN’解析式为
y=x-9/4
当y=0时，x=9/4
∴D(9/4，0)
AC=OA+OC=(9/4) + (9/4)=9/2
∴S△ADC=(9/2)×(9/4)÷2=81/16
S△ANC=(9/2)×3÷2=27/4
∴S四边形ADCN=S△ADC+S△ANC=(81/16)+(27/4)=189/16

3.
存在根据顶点A、P、C、N的顺序分类讨论
①P在C的上方，此时CP‖AN、NP‖AC
设CP解析式为y=k2·x + b2
∵CP‖AN
∴CP、AN的一次项系数相等
即k2=-1
∴CP：y=-x+b2
把C(0，-a)代入得
b2=-a
∴CP：y=-x-a
∵AC‖NP
∴N、P的横坐标相等，为4a/3
当x=4a/3时，y=-x-a=-7a/3
∴P(4a/3，-7a/3)
把P代入抛物线y=x²-2x+a得
-7a/3=(4a/3)²-(8a/3)+a
解得a=-3/8 (a=0舍)
∴P(-1/2，7/8)
∴当a=-3/8时，四边形PCAN为平行四边形，此时P(-1/2，7/8)

②P在右边，此时AP‖CN、AN‖CP
设AP：y=k3·x + b3
∵AP‖CN
∴它们一次项系数相等，即k3=1/2
∴y=(1/2)x + b3
把A(0，a)代入得
b3=a
∴AP：y=(1/2)x + a
设CP解析式为y=k4·x + b4
∵CP‖AN
∴它们一次项系数相等，即k3=-1
∴CP：y=-x + b4
把(0，-a)代入得
b4=-a
∴CP：y=-x-a
根据CP、AP构造方程组求P的坐标
y=-x-a
y=(1/2)x + a
解得
x= -4a/3
y= a/3
∴P(-4a/3，a/3)
把P代入抛物线y=x²-2x+a得
a/3=(-4a/3)² + 8a/3 + a
解得a= -15/8 (a=0舍)
∴P(5/2，-5/8)
∴当a=-15/8时，四边形PANC为平行四边形，此时P(5/2，-5/8)