Question

已知数列｛an｝中，a1=1，且sn=sn-1/( 2sn-1+1)(n>=2)，求an

Answer 1

Sn=Sn-1/( 2Sn-1+1)
S1=A1=1
S2=1/(2*1+1)=1/3
S3=1/3/(2*1/2+1)=1/5
假设Sk=1/(2k-1)
Sk+1=1/(2k-1)/(2*1/2k-1+1）=1/((2(k+1)-1)
所以Sn=1/(2n-1)
an=Sn-Sn-1=1/(2n-1)-1/(2n-3)

追问

最后算出来是分成n=1时和n>=2时吧
n=1时，a1=1；
n>=2时，an=1/(2n-1)-1/(2n-3)
两者不能合并成一个式子

追答

理解正确

Answer 2

解答：
因为：sn=sn-1/( 2sn-1+1），所以：1/sn=(2sn-1+1)/sn-1=2+1/sn-1
所以：1/sn-1/sn-1=2，得到：数列{1/sn}为等差数列，公差为2，首项为1
所以：1/sn=1+(n-1)*2=2n-1，解得：sn=1/(2n-1)
所以：an=sn-sn-1=1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/[(2n-1)(2n-3)]