Question

高中数学排列组合题，急急急，谢谢

现有五道数学题A,B,C,D,E,他们对应的答案为a,b,c,d,e,把A、B、C、D，E和a、b、c、d，e分别写成左、右两列，现有一答题者随机用5条线段把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对一个得1分，连错的得0分
求其得分分布列。谢谢，求详解

Answer 1

过程如下：
记得分（也就是连对数目）为 X ，则 X 可取值 X = 0, 1, 2, 3, 5。
考虑 X = 0 时，全部题目连错，即错排问题，其公式为：
方法数N(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n / n!) ，其中 n 为错排元素个数。
（这个公式是竞赛内容，推导可以通过容斥原理，高考应该不会考吧……）
于是 X = 0 时，可行方法数为 N(5) = 5! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! +1/4! - 1/5!) = 44
得 P(X=0) = 44 / A(5,5) = 44/120 = 11/30
同理得
P(X=1) = N(4)*C(5,1) / A(5,5) = 9*5/120 = 3/8
P(X=2) = N(3)*C(5,2) / A(5,5) = 2*10/120 = 1/6
P(X=3) = N(2)*C(5,3) / A(5,5) = 1*10/120 = 1/12
P(X=5) = N(0)*C(5,5) / A(5,5) = 1*1/120 =1/120
X不为 X=4 是因为 N(1) = 0 ，即一个元素不可能连错。
于是，……（分布列我就不写了）

另外，这题数量比较少，列举也是可以的……

追问

谢谢，可为什么x=1.x=2时要分别乘以9和2，而其他×1呢？

追答

……
P(X=a) = N(5-a) * C(5,a) / A(5,5)
N(5-a) 这个错位排序是关键啊你都没看到……
代入我给的公式，N(4) = 9，N(3) = 2，N(2) = 1，N(0) = 1……

追问

可以再详细些么？我还是不明白，拜托~具体指的是什么啊？

追答

……
那个公式的意义就是：若n封信需装入n个对应信封，而全部装错位，其方法数即是 N(n)。
比如 X=2 时，就是只有两个元素连对了位置。选出这两个元素，于是有 C(5,2)。剩下三个，全部错位，代入公式，方法数为 N(3) = 2。总方法数为 A(5,5)=120 ，于是 P(X=2) = N(3)*C(5,2) / A(5,5) = 1/6。

追问

这个公式我没学过呀，那x=1，为什么N=9呢？

追答

………………
都说了这个函数是竞赛的…………
大不了你硬记着就行了……
N(5-1) = N(4) = 4! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! +1/4!) = 9，你代入那个公式不就行了啊……

Answer 2

用穷举法吧

追问

谢谢
我只是不懂为什么x=2时是2C2,5/A5，5，为什么是2C2,5而不是C2,5呢？
还有为什么x=1是9C1,5/A5，5？

追答

没有道理啊……

追问

我也不清楚

Answer 3

要是你实在不会，可用列举法，虽然麻烦的，但也可以做