Question

那个代数取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷解时求出其解。

Answer 1

上式简记为Ax=b
A=
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
b=
1
λ
λ^2
当A可逆时，有唯一解，因为det(A)=λ^3 -3λ+2 = (λ+2)(λ-1)^2.
所以当λ不是-2,1时，它有唯一解

有无穷多解的条件是
r(A|b) = r(A)，且det(A) =0
其中A|b表示A和b并在一起的矩阵
而当λ=-2时，r(A)=2 r(A|b) =3，方程无解
显然当λ=1时，r(A)=1, r(A|b) = 1，方程有无穷多解
此时
A|b=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
等价于x1+x2+x3=1
令x1=c1,x2=c2, x3 = 1-c1-c2
方程的解可以表达为
x=c1(1,0,-1) + c2(0,1,-1) +(0,0,1)，c1,c2为任意实数

Answer 2

增广矩阵为
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2

先计算系数矩阵的行列式
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.

当λ≠1 且λ≠-2 时, 由Crammer法则知有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵为
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
->
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
通解为: (1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'

当λ=-2时, 增广矩阵为
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
1 1 -2 4

r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 3
此时方程组无解.