Question

设a∈R，函数f(x)=ax^3-3x^2（1）若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值（2）若函数g(x)=f(x)+f’(x),x∈[0,

设a∈R，函数f(x)=ax^3-3x^2（1）若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值（2）若函数g(x)=f(x)+f’(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值，求a的取值范围
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Answer 1

因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x

因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)

将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)

对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)

当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,a<6/5

Answer 2

第一问，极值点满足 f'(x)=0. 代入方程式，得出3ax^2-6x=0,x=2,得到，a=1.
f(x)=x^3-3x^2.

第二问，g(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6x. 在x=0处取得最大值.可知，g(x)<g(0)=0.即 【ax^2+3(a-1)x-6】x<0,而x属于[0,2]，所以 ax^2+3(a-1)x-6<0.

令 d(x)= ax^2+3(a-1)x-6.
分析得知，
当a>0时，开口向上，与y轴交点在（0，-6）处。对称轴 x‘=[3(1-a)]/(2a) .
当 x'<0 时，即 a>1, 需要d(2)<0,a<6/5,即 1<a<1.2
当 0 <x’<2时，即3/7<a<1时，需要最大值小于零。-9（a-1）^2/(4a)-6<0, 解得 a>1+2*6^0.5/3,所以这种情况无解。
当x'>2, a<3/7时，只需 d(2)<0. 即a<6/5. 与a<3/7做交集，知 0<a<3/7.
当a<0.时x'<0 此时 区间[0,2]递减。所以符合条件。
综上， a<0 或者 1<a<1.2 或者 0<a<3/7

Answer 3

因为y=m/x在第一、三象限
所以一次函数y=kx+b中，k〉0，b〉0. 又 OA=OB=OD=1
所以 A（-1，0） B（0，1） D（1，0）
将A、B两点带入y=kx+b，得y=x+1
又 CD⊥x轴且C点过y=x+1，所以C（1，2）
所以反比例函数为 y=2/x

Answer 4

(1) 求f(x)的导数f'(x)=3ax^2-6x，2是导数值为0的方程的一个解。
（2）g(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6X
求极值画图即可见

Answer 5

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