Question

已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足对于任意m,n,都有f(m*n)=f(m)+f(n),且当x>1,f(x)<0.

1,求证1是函数y=f(x)的零点
2，证明y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
3当f(2)=1/2时,解不等式f(x^2-3x)>1

Answer 1

1、令m=n=1得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，因此1是函数y=f(x)的零点。
2、设x1>x2>0，则x1/x2>1，f(x1/x2)<0。
f(x1)=f(x1/x2)+f(x2)<f(x2)，故函数f(x)是(0，+∞)上的减函数。
3、f(4)=f(2)+f(2)=1，所求不等式即为f(x^2-3x)>f(4)
由f(x)是(0，+∞)上的减函数，于是0<x^2-3x<4，解得-1<x<0或3<x<4。