Question

在平面坐标系中抛物线过A(-4,0)B(0，-4)C(2,0)三点点M第三象限内抛物线上动点，点M坐标为m，三角形AMB面积

S求1、S与m函数关系式，及S最大值？2、点P为抛物线上动点，点Q是直线y=-x上动点，判断有几个位置能使点P、Q、B、O为定顶点四边形为平行四边形，写写出相应点Q的坐标？

Answer 1

在平面坐标系中抛物线过A(-4,0)B(0，-4)C(2,0)三点，点M是第三象限内抛物线上的动点，点M的横坐标为m，三角形AMB面积S，求(1).S与m函数关系式，及S最大值？2、点P为抛物线上动点，点Q是直线y=-x上动点，判断有几个位置能使点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，写出相应点Q的坐标？
解：设抛物线方程为y=ax²+bx+c，将A，B，C三点的坐标依次代入得：
16a-4b+c=0..............(1)
c=-4..........................(2)
4a+2b+c=0...............(3)
三式联立求解得：a=1/2，b=1，c=-4
故解析式为 y=(1/2)x²+x-4=(1/2)(x²+2x)-4=(1/2)[(x+1)²-1]-4=(1/2)(x+1)²-9/2
(1)△AMB的面积S=(1/2)│AB│h，其中h是点M到AB的距离（即 △AMB的高）
│AB│=4√2，AB所在直线的方程为x+y+4=0，点M(m，n)到AB的距离h=│m+n+4│/√2
=│m+(1/2)m²+m-4│/√2=│(1/2)m²+2m-4│/√2=(1/2)│m²+4m-8│/√2=(√2/4)│m²+4m-8│
故S=(1/2)×4√2×[(√2/4)│m²+4m-8│]=│m²+4m-8│ (-4<m<0)
(2) 过B(0，-4)作已知直线y=-x的平行线y=-x-4与抛物线相交于P，显然P点与A点重合，故
P点的坐标就是（-4，0），那么Q点的坐标就是(-4，4).此时，PQOB就是平行四边形。