Question

设f(x)=sinx,g(x)=a+cosx,x属于[0,2π],若f(x)图像与g(x)的图像交点的个数有且仅有一个，则a的值为多少

画图搞鼓出来是正负根号2，望各位大大给我个计算的方法

Answer 1

因为f(x)图像与g(x)的图像只有一个交点，所以f(x)=g(x)只有一个解，
即sinx=a+cosx
sinx-cosx=a只有一个解，
因为sinx-cosx=√2（√2/2sinx-√2/2cosx)
=√2(cos45°sinx-sin45°cosx)
=√2sin(x-45°)
即：√2sin(x-45°)=a
sin(x-45°)=a/√2=(√2a)/2只有一解，
∵x∈[0,2π]，要使y=sin(x-45°)在范围内只有一个解，y只能取±1，
即（√2a）/2=±1，∴a=±√2

Answer 2

令f（x）=g（x），则sinx-cosx=a，√2（√2/2sinx-√2/2cosx）=a，sin（x-π/4)=a/√2，x-π/4的范围在【-π/4，7π/4】之间，所以sin（x-π/4)的范围在【-1，1】之间，-1时a为-√2，1时a为√2。