Question

已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l的方程

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标
（2)若点P的坐标为（2，1），过点P做直线与圆M交于C、D两点，当CD=根号2时，求直线CD方程。
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标
(4)求证：当P点在直线l上运动时，经过A、B两点的直线恒过定点。

Answer 1

(1)∠APM=∠MPB=(1/2)∠APB=60°/2=30°
MA⊥AP,MA=1,|MA|/|MP|=sin∠APM=sin30°=1/2,
|MP|=2|MA|=2
M(0,2)，设P(2y0,y0)(P在直线L:X-2Y=0上),
则|MP|=√{[2(y0)-0]^2+[(y0)-2]^2}=2,
5(y0)^2-4(y0)=0,y0=0或y0=4/5
P的坐标为(0,0),或(8/5,4/5)
(2)设CD中点为N，则N平分CD且MN⊥CD，|MD|=1,
|ND|=(1/2)|CD|=(√2)/2,由勾股定理得
|MN|=√(|MD|^2-|ND|^2)=(√2)/2
设直线CD方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,
圆心M(0,2)到直线CD的距离|MN|=(√2)/2
由点到直线距离公式得
|MN|=|k*0-2+1-2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
|1+2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
7(k^2)+8k+1=0
k=-1或k=-1/7
直线CD方程为y-1=-(x-2)或y-1=-(1/7)(x-2)
即x+y-3=0或x+7y-9=0
(3)显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),
因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点，圆直径为MP
过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q
设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),
直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,
y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)
即点P在直线运动时，经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)
(4)由A、M、B、P四点共圆和圆满M相交弦为AB
设P(2y1,y1)
则AMBP所在圆方程为(x-2y1)^2+(y-y1)^2=(2y1)^2+(y1-2)^2-1
圆M:(x^2+(y-2)^2=1
两圆相减得:(4-4x-2y)y1+(4y-6)=0
因为y1为任意值，所以必须系数为0
即：4-4x-2y=0,4y-6=0
解得：x=1/4,y=3/2
即经过A、B两点的直线恒过定点（1/4，3/2）