Question

对于任意实数a(a不等号0)和b，不等式|a+b|+|a-b|大于等于号|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，试求实数x的曲值范围

坐等~~~求答案！~~~

Answer 1

答案为1/2<=x<=5/2。
先对|x-1|+|x-2|作图。（分x<1，1<x<2，x>2三段）。
由于a不等于0，将a换到左边。
当|a|>|b|时，|a+b|+|a-b|=2|a|
即2|a|/|a|>=|x-1|+|x-2|恒成立。根据图的2x-3<=2,3-2x<=2,得1/2<=x<=5/2。
当|a|<|b|，|a+b|+|a-b|=2|b|
2|b|/|a|>=|x-1|+|x-2|恒成立，2|b|/|a|>=2恒成立。则|x-1|+|x-2|<=2时式子恒成立。
同上解
综上：1/2<=x<=5/2。

Answer 2

|a+b|+|a-b|>=|a|(|x-1|+|x-2|)>0
所以(|a+b|+|a-b|)²>=（|a|(|x-1|+|x-2|)）²
即（a+b)²+(a-b)²+2|a²-b²|>=a²*[(x-1)²+(x-2)²+2*|x-1|*|x-2|]
即[（a+b)²+(a-b)²+2|a²-b²|]/a²>=(x-1)²+(x-2)²+2*|x-1|*|x-2|
当a²>b²时，左边=2,即 2>=(x-1)²+(x-2)²+2*|x-1|*|x-2|
当a²<=b²时，b²/a²<=1,左边=2*b²/a²<=2, (x-1)²+(x-2)²+2*|x-1|*|x-2|<=2*b²/a²<=2
综上
(x-1)²+(x-2)²+2*|x-1|*|x-2|<=2*b²/a²<=2
解得
（3-√2）/2<=x<=(3+√2)/2