Question

设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+2a2+a3,b2=2a1+3a2+4a3,b3=3a1+4a2+3a3也可作

设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: b1=a1+a2+a3,b2=a1+a2+2a3,b3=3a1+2a2+a3也可作Ax=0的基础解系
要过程

Answer 1

首先, 齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解
所以, b1,b2,b3 是Ax=0 的解.
还需证两点:
1.b1,b2,b3 线性无关
2.任一解可由b1,b2,b3 线性表示
事实上这两点可用下方法一次证明出来.

(b1,b2,b3) = (a1,a2,a3)A
其中 A =
1 2 3
2 3 4
1 4 3
第1列是b1表示成 a1,a2,a3 的组合系数, 其余类似.

计算一下A的行列式, |A| = 4≠0. 所以A可逆.
所以有 (b1,b2,b3)A^(-1) = (a1,a2,a3)
即 a1,a2,a3 可由 b1,b2,b3 线性表示
所以 a1,a2,a3 与 b1,b2,b3 等价
这说明了两点:
1. r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3) = 3, 故 b1,b2,b3 线性无关
2. 由a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
任一解都可由 a1,a2,a3 线性表示
所以 任一解也可由 b1,b2,b3 线性表示.

故 b1,b2,b3 是 Ax=0 的基础解系.

请琢磨一下这个证法, 很有用的!

Answer 2

1.b1,b2,b3 线性无关
2.任一解可由b1,b2,b3 线性表示