Question

已知数列｛an｝、｛bn｝,满足a1=2,2an=1+an×a（n+1），bn=an-1。求数列｛1／bn｝是等差数列

并求数列｛an｝的通项公式
（2）令Cn=bnb（n+1），Sn为数列｛Cn｝的前n项和，求证Sn＜1

Answer 1

1)b1=a1-1=1
1/b(n+1)-1/bn=1/(a(n+1)-1)-1/(an-1)=(an-a(n+1))/[ana(n+1)+1-(a(n+1)-an)]=(an-a(n+1))/(an-a(n+1))=1
所以｛1／bn｝是等差数列,首项为1,公差为1
所以1/bn=1+n-1=n.即bn=1/n
所以an=(n+1)/n
2)cn=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以Sn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1(n+1)=1-1/(n+1)<1