Question

如图,在△ABC中,BD、CD是内角平分线,BP、CP是∠EBC、∠FCB的平分线

（1）若∠A+30°，求∠BDC、∠BPC的度数
（2）不论教A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？

Answer 1

如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．
（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC；
（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化，为什么？
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质．
专题：探究型．
分析：（1）已知BD，CD是内角平分线，∠A为30°，可利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求出∠BDC、∠BPC即可．
（2）本题考查的是三角形内角和定理．因为BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，又因为∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，易求出∠D+∠P的值不变．
解答：解：（1）已知BD，CD是内角平分线，
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×150°=75°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-75°=105°．
又∵∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-150°=210°，
∵BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=12（∠CBE+∠BCF）=105°，
∴∠BPC=75°；

（2）不变，∠D+∠P=180°．
∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，
BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠D+∠P=180°．
点评：此类题解答的关键是利用角平分线的性质．重点是运用内角和定理求出∠BDC，∠BPC．

Answer 2

解：（1）已知BD，CD是内角平 分线， ∵∠A=30°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=1 50°， ∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB） =12×150°=75°， ∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180 °-75°=105°． 又∵∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠A CB）=360 °-150°=210°， ∵BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分 线， ∴∠CBP+∠BCP=12（∠CBE+∠BCF）= 105°， ∴∠BPC=75°；

（2）不变，∠D+∠P=180°． ∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF= 180°， BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠AB C，∠ACB的外角平分线， ∴∠D+∠P=180°．

Answer 3

这个题必须画图，不然没办法判断E、F点的位置，进而无法判断P点的位置。也无法弄清楚它们之间的关系。