Question

初三数学题。。。

在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请证明
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？证明。
过程 清楚一点、、

Answer 1

解：（1）AE=MP+NQ；

证明：过点P作PF丄CD，垂足为F，则<PFQ=<BAE=90度，PF=AD=AB；

∵OP⊥BE，PF丄AB∴<QPF=<EBA；

在△QPF和△EBA中，<PFQ=<BAE，PF=BA，△QPF≌△EBA（ASA）

∴AE=FQ

又∵MP=NF，FQ=NF+NQ

∴AE=MP+NQ

（2）AE=NQ-MP；

证明：过点P作PF⊥CD，则<PFQ=<BAE=90度，PF=AD=AB

∵OP⊥BE，DQ⊥AD∴<PQF=<BEA

在△PQF和△BEA中，<PQF=<BEA，<PFQ=<BEA，<PFQ=<BAE，PF=BA

∴△PFQ≌△BEA（AAS）

∴AE=FQ；又∵MP=NF，FQ=NQ-NF

∴AE=NQ-MP

（3）当点E在DH上时，AE=MP+NQ；当点E在线段HG上时，AE=NQ-MP。

点E在DH上时，过点P作PF⊥CD，则<F=<BAE=90度，PF=AD=AB

∵OP⊥BE，CD⊥DE∴<AEB=<FQP

容易得△ABE≌△FPQ∴AE=FQ

又∵MP=NF，FQ=FN+NQ

∴AE=MP+NQ；

当点E在线段HG上时，过点P作PF丄CD，则<F=<BAE=90度，PF=AD=AB；

∵OP⊥BE，CD上DE∴<AEB=<FQP，易得出△ABE≌△FPQ∴AE=FQ

又∵MP=NF，FQ=FN=NQ.

∴AE=MP-NQ

Answer 2

这个题目属于典型题目之一，由于过程比较复杂，这里给搜了个答案，忘谅解：

望采纳，谢谢！

Answer 3

（1）相等，都等于边长×tan角ABE。（2）AE=二者差，同上。（3类似方法）。初中你应该学了三角函数

Answer 4

建立平面直角坐标系，写出直线方程，问题可解。

Answer 5

这题我好久以前做过的，但是过程太多懒得写