Question

初三数学题。。。谢谢、

在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．

Answer 1

本题几问辅助线做法以及证明方法类似，都是利用原题中的正方形和垂直再作垂线后用三角形全等证出来。简单分析如下：

（1）过点P作PF⊥CD于F，则MP=NF，

由△PFQ≌△BAE得AE=QF=NF+NQ=MP+NQ

（2）同（1）做法，只是结论不同：过点P作PF⊥CD于F，则MP=NF，

由△PFQ≌△BAE得AE=QF=NQ-NF =NQ-MP

（3）当点E在线段DH上时，如图③，过点Q作QF⊥AB于F（也可同上一样过P作垂线，只是为了图形不至于过于复杂而改换），

同上法可证明△QFP≌△BAE得AE=PF=MP+MF=MP+NQ

当点E在射线HG上时，如图④过点Q作QF⊥AB于F，

照样可证明△QFP≌△BAE得AE=PF=MP-MF=MP-NQ

以上全等及等量代换过程不太详细，不过既然你是经过认真思考过的，想来这些细微之处都是能够自己补充完整的，分析时注意其中的垂直的位置。

祝你学习进步！