Question

极坐标系下的二重积分的计算问题(高等数学一)

对 ln(1+x的平方+y的平方)dxdy求二重积分, 其中D为x的平方+y的平方<=1, x>=0, y>=0 所围成的区域.

麻烦哪位高人给解下, 最好列出式子还有计算的过程,我的答案和正确答案对不上,正郁闷中! 谢谢

正确答案是 pi/4*(ln4-1)

Answer 1

∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ,x=rcosθ,y=rsinθ
0≤r≤1,0≤θ≤π/2
∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ
=∫ln(1+r2)rdr∫dθ
=π/2*∫ln(1+r2)rdr(0～1)
=π/4*∫ln(1+r2)dr2
=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2dln(1+r2)]
=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2/(1+r2)dr2]
=π/4*[ln2-∫(1-a)/ada]

其中，r自0至1，故ln(1+r2)*r2=2；
a=1+r2,故a自1至2，∫(1-a)/ada=∫1da-∫1/ada=1-ln2
再带回去，就得到：∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=π/4*[2ln2-1]

注意，2ln2=ln4；r2表示r的平方

Answer 2

设极坐标参量r,a，a是角度。
r^2=x^2+y^2

dxdy=rdrda

代换，原式=ln(1+r^2)rdrda，积分区间r,[0,1];a[0,pi/2]

分离变量分别积分

da积分的pi/2

ln(1+r^2)rdr
可作适当变换,变为1/2*ln(1+r^2)d(1+r^2)
换元Y=1+r^2，积分范围变为[1,2]
得到1/2*lnYdY
用分部积分得到1/2[YlnY-Y]，代入上下限[1,2]得
1/2*(ln4-1)
在乘上da积分的pi/2即得答案。