Question

数学中考二次函数

二次函数y=1/8x2的图像如图所示,过y轴上一点M(0,2)的直线与抛物线交于A、B两点,过A、B两点分别做y轴的垂线，垂足分别为C、D,
(1)在A的横坐标为2时，求B的坐标：
（2）在（1）的情况下，分别过A、B做AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，求在EF上是否存在点P，使∠APB为直角，若存在，求P的坐标：不存在，说明理由：
（3）当点A在抛物线上运动时，（A与O不重合）求AC×BD的值

Answer 1

1）当x=2时，y=1/8*2²=1/2
即A(2,1/2)
可设直线AB解析式为y=kx+2
把A（2,1/2)代入上式得
2k+2=1/2
解得k=-3/4
即y=-3/4x+2=1/8x²
解得x1=2,x2=-8
y1=1/2,y2=8
即B(-8,8)
2)设直线EF解析式为y=ax+8
E(2,0)代入得
2a+8=0
a=-4
即y=-4x+8
可设点P(x,-4x+8)
AB中点Q[(-8+2)/2,(1/2+8）/2]即（-3,17/4)
由题意得PQ=1/2AB
√[(x+3)²+(-4x+8-17/4)²]=1/2√[(2+8)²+(1/2-8)²]
解得x=(12±4√26)/17
即P[(12+4√26)/17;(88-16√26)/17]或[[(12-4√26)/17;(88+16√26)/17]

3)
当点A在抛物线上运动时始终过M点，则直线AB为y=kx+2
AC×BD值就是A,B点横坐标的绝对值的积；
也就是方程kx+2=1/8x² 即1/8x²-kx-2=0两根之积的绝对值
∴AC×BD=2/(1/8)=16