Question

已知，如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO2=OE×O

图：
已知，如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO×AO=OE×OF

Answer 1

只要证明三角形OFC和三角形AOE相似就可以
∵OF⊥AC
∴角FOC=角FOA=90°（ 两个三角形的两个角相等）
矩形两个对角线相交 所以 OA=OC(两个三角形的一条边相等）
又∵AD‖BC
所以角DAC=角ACB
∵AD⊥AB
∴角DAC+角CAB=90°
∵OF⊥OC
∴角OFC+角ACB=90°
∵角DAC=角ACB
所以角CAB=角OFC（两个三角型的两个角相等）
这样△AOE相似于△OFC
2AO=OE*OF

Answer 2

证明：∠AOE=∠FOC=RT∠=∠ABC
∴O、E、B、C四点共圆，∴∠OEA＝∠OCF（圆内接四边形外角等于内对角）
∴△OEA∽△OCF，（一锐角对应相等的两个直角三角形相似）
∴OA/OF=OE/OC 则有OA×OC=OF×OE
又OA＝OC
∴AO×AO=OE×OF