Question

如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E． AE＝1，求梯形ABCD的高

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Answer 1

提供一个思路
延长AE交BC于F
由题意，易知∠ABC=∠C=60°
AD‖BC，则∠BAD=120°
三角形BAD是等腰三角形，AE⊥BD，则∠BAE=∠DAE=60°。
所以，三角形ABF是等边三角形。
梯形ABCD的高即是等边三角形ABF的高。
由题意，BE是等边三角形ABF的高。
在直角三角形ABE中∠AEB=90°,∠ABE=60°
所以，BE=AE*tg∠ABE=1*tg60°=根号3

Answer 2

（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．（1分）
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．（2分）
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点，
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）
∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，
∴GF=DF，（5分）
∴AE=GF．（6分）

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=1，
∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°，
并且DC=AD=2，
∴DG=3．（8分）
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四边形DEGF的面积=12EF•DG=3．（10分）

Answer 3

∠C=60°，则∠BAD=120°，
AB=AD，∠ABD=30°，所以AB=2AE=2.
梯形ABCD的高=AB sin∠ABC=ABsin60°=√3.

Answer 4

分别延长BA、CD交于一点设为O，
∵AD//BC
∴∠ADO=∠C=60°
∴△OAD为等边三角形
∵AB=AD=DC
∴△OBC也为等边三角形
∴AD=1/sin30°=2
过D点做BC的垂直线交于点F 则DF为梯形高
∴DC=2×sin60°=根号3