Question

已知函数f(x)=-x²+4ax-3a². （1）当a=1，x∈[-3,3]时，求函数f(x)的值域；（2）若0＜a＜1，x∈[

已知函数f(x)=-x²+4ax-3a². （1）当a=1，x∈[-3,3]时，求函数f(x)的值域；（2）若0＜a＜1，x∈[1-a,1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围。

Answer 1

(1) 当a=1时，f(x）=-x^2+4x-3，抛物线的开口向下，f(x)=-(x-2)^2+1，2属于【-3,3】，因此，当x=-3时，f(x)=-24，当x=2时，f(x)=1，当x=3时，f(x)=0，故，f(x)的值域为【-24,1】。

Answer 2

已知函数f(x)=-x²+4ax-3a². （1）当a=1，x∈[-3,3]时，求函数f(x)的值域；（2）若0＜a＜1，
x∈[1-a,1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围。
解：(1) f(x)=-x²+4x-3=-(x²-4x)-3=-(x-2)²+1，故有最大值f(2)=1，当x=-3时有最小值f(-3)=-24
故当a=1，x∈[-3，3]时，f(x)的值域为[-24，1].
(2) f(x)=-(x²-4ax)-3a²=-[(x-2a)²-4a²]-3a²=-(x-2a)²+a²
∵0<a<1，∴1<1+a<2； -1<-a<0，0<1-a<1；0<2a<2.
1-a≤x≤1+a，故 0<x<2.
f(0)=-3a²；f(2)=-(2-2a)²+a²=-4+8a-4a²+a²=-3a²+8a-4=-(3a²-8a+4)=-(3a-2)(a-2)；f(2a)=a²；
最大值为f(2a)=a²≤a，得a(a-1)≤0，故0≤a≤1，∴当0<a<1时，能保证maxf(x)=f(2a)≤a.
最小值f(0)=-3a²≥-a，得3a²-a=a(3a-1)≤0，故得0≤a≤1/3.
{a│0<a<1}∩{a│0≤a≤1/3}={a│0<a≤1/3}，这也就是满足题目要求的参数a的取值范围。

Answer 3

（1）最小值是-24最大值是1

Answer 4

2-36