Question

设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π/2<φ<π/2),给出以下三个论断,

①f(x)的图像关于直线x=-π/6对称 ②f(x)的周期为π ③f(x)的图像关于点(π/12，0)对称以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题并加以证明
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Answer 1

① ②》③
由②知道周期是π，所以2π/w=π. w=2
① f(x)的图像关于直线x=-π/6对称
对于正弦函数的对称轴都是最大值点或是最小值点
所以 -π/6+φ=(kπ+π/2)/2
所以得出 φ=5/6π+kπ，
但是 -π/2<φ<π/2,
所以k=-1，φ=-π/6,
关于命题三，因为正弦函数的对称点就是函数值为0得点，代入之后发现
(π/12，0)成立，所以① ②》③

同理，① ③也可以推出②

Answer 2

由1和3可以推出2
证明如下：
由条件1知，f(-π/6)=±1，代入得，-π/6×x+φ=±π/2。
由条件3知，f(π/12)=0,代入得，π/12×x+φ=0。
由此两式子可以解出 w=±2。所以可得出f(x)的周期为π。