Question

【求助】函数对称的问题

1、若y=f(x)在x∈R上时，有f(a+x)=f(b-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(a+x)和 y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称。

这两个命题都是对的，我却分不清它们，怎么理解呢？如何推导呢？

Answer 1

1.考虑到这样的一个事实，如果f（x）关于x=a对称，那么有f（x-a）=f（a-x） 由于函数自定义，我们使用变量代换的技巧把抽象的表达式换成上述形式。
f(a+x)=f(b-x)，我们设f（x+t）=f（t-x），那么f（x+t）=f（x+t-a+a）=f（b-（x+t-a））=f（b+a-t-x） 因此t-x=b+a-t-x 得到t=(a+b)/2
2. 考虑到是两个图像，不能由两个函数值确定两个自变量的关系， 相反可以从两个自变量的一定关系确定函数值相等，因此 考虑 当 b-x=a+x 时，x=(b-a)/2，这说明了x=(b-a)/2把b-x变成了a+x。
分不清的原因可能在于没有理解对称的数学化，做数学题目时，应把关键非数学语言表达成数学形式，对称也是。考虑对称的时候，取点，或者某点通过某关系找出数学形式

Answer 2

不要去推导，重在观察。
1、对称。对称的特点的中点，或者中垂线。f(a＋x)=f(b－x)，这个式子中，你看，把两个加起来就是个常数，这不就和中点类似吗？这就是对称；
2、周期。周期的特点的经过一段时间后出现重复。f(x＋a)=f(x＋b)，在这个中，你看，两个相减也是个常数，这个常数说明什么？那就是割了一段后函数值相等了，这就是周期。