Question

高一数学必修4怎样学好向量有关的问题?

Answer 1

第五单元 平面向量

第17讲 平面向量的概念及运算
知识精要
1.平面向量的有关概念
（1）向量的定义：（2）表示方法：用有向线段来表示向量. 表示向量的大小,用箭头所指的方向表示______.用字母 ,… 或用 , ,…表示.
（3）模：向量的长度叫 ,记作| |或| |.
（4）零向量： 的向量叫做零向量,记作 ；零向量的方向 .
（5）单位向量： 叫做单位向量.
（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫
也叫共线向量,规定：__________与任何向量共线.
（7）相等的向量： 叫相等的向量.
（8）相反向量：与 的 叫做 相反向量；
2.向量的运算
（1）向量的加法：
①定义：求两个向量和的运算,叫做 .
②法则： 法则；平行四边形法则.
③运算律：交换律 ； 结合律 ；
（2）向量的减法：
①定义：求两个向量差的运算,叫做 .
②法则：三角形法则； 法则.
③箭头指向 ；
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数 与向量 的积是一个向量,记
作 ,规定：| |=| || |.当 ＞0 时, 的方向与 的方向 ；当 ＜0时, 的方向与 的方向 ；当 =0时, 与 平行.
（2）运算律： （ ）= ,
（ + ） = , （ + ）= .
4.两个重要定理：
（1）向量共线定理：向量 与非零向量 共线的
充要条件是有且仅有一个实数 ,使得是 = ,即 .
（2）平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个 ,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且仅有一对实数 ,使 ；
5．向量的数量积：
（1）向量的夹角：如下图,已知两个非零向量 和
,作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角,记作〈 , 〉.
（2）数量积的定义：已知两个非零向量 和 , 它们的夹角为 ,则数量 叫做 与 的数量积,记作 • ,即： • =| || | .
（3）数量积的几何意义：数量积 • 等于 的模与 在 方向上的投影 的乘积.
（4）数量积的性质：设 是单位向量,〈 , 〉= .
① • = • = .
②当 与 同向时, • = ；当 与 反向时, • = ,特别地, • = ,或| |= .③ ⊥ _____.④ =__________.⑤| • |≤| || |.
（5）运算律：① • = • ；②（ ）• = = （ ）；③（ + ）• = .
例题解析
题型一 向量的线性运算
例1 如图平行四边形 的两条对角线交于点 ,且 , ,用 , 表示 , , 和 .

解析：在平行四边形 中,
,

, ,
,
题型二 向量共线的应用
例2 设 , 是两个不共线向量,已知
, ,
,若三点 , , 共线,求： 的值.
解析：因 , , 共线,可以考虑三点组成的任意两个向量都共线,利用向量共线的充要条件列关系式,从而求得K的值,

, , , 共线, ,
共线, 存在 使 ,即
, ,

题型三 平面向量模的问题
例3 已知 , , 与 的夹角为 ,求：（1） ；（2） .
解析：（1） ,
, ,

（2）

例4 已知 , 都是非零向量,且 与
垂直, 与 垂直,求 与 的夹角 .
解析：由已知 ,
,
即 ,
,两式想减,得
,代入其中任一式,得 ,
,故 .
课后练习
1.若非零向量 , 满足 ,
,则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
2. 中,点 在 上, 平分 ,若 , , , ,则 ( )
A. B.
C. D.
3.已知向量 , 满足 , , ,则 ( )
A. 0 B. C. 4 D. 8
4.已知 , , ,则 与 的夹角是( )
A． B. C． D.
5.已知 , , ,则向量 在向量 方向上的投影是( )
A. B.4 C. D.2
6.已知向量 与 的夹角为 , , ,则 ___________
7.设向量 , 满足： , , ,则 __________
8.在 中,若 , .若点 满足 ,则 _________
9.设点 是线段 的中点,点 在直线 外, 则 _____.
10.设两个非零向量 与 不共线.
（1）若 , ,
,求证： 、 、 三点共线；
（2）试确定实数 ,使 和 共线.

11.已知向量 、 、 满足 ,
⊥ , ⊥ .若 ,求
的值.

12. 是以向量 为边的平行四边形,又 ,试用 表示 。

第18讲 平面向量基本定

1.平面向量的坐标表示
在直角坐标系内,分别取与 轴、 轴方向相同的 作为基底,任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 ,使得 ,我们把 叫做 的直角坐标,记作 ,其中 叫做 在X轴上的坐标, 叫做 在Y轴上的坐标； 叫做 的坐标表示,与 相等的向量的坐标也为 ,显然 , 。
2．平面向量的坐标运算
（1）已知 ,则 _______, _________
（2）已知 和实数 ,那么 _____
（3）设 , ,则 ‖ 的充要条件是 ；若 ,则 _________
（4）若点 ,则 ____
（5）若 ,则 ___
（6）若向量 的起点坐标和终点坐标分别为 ,
,则 _______；这就是两点间的距离公式；
（7）设 ,则 __________；
（8） =_____________
3.线段的定比分点
（1）设 是直线 上两点,点 是 上不同于 的任意一点,则存在一 个实数 使 , 叫 分有向线段 所成的比, 叫做定比分点。当 时, 在 的延长线上, 叫 的 ；
当 时, 在 的延长线上, 叫 的外分点；当 时, 在 与中点之间； 时, 为中点； 时, 在中点与 之间； 时, 于 重合, 都称为 ；
（2） 点分 成的比为 ,则 ______ （ 为平面内任一点）
（3）定比分点坐标公式： , ,
, _______, ________;
为中点时, _______, ________.
4.图形的平移
（1）设 为坐标平面内一个图形将 上所有点按同一个方向移动相同的长度,得到图形 ,这个过程叫图形的平移；将一个图形平移, 图形的 不变只是在坐标平面内的位置发生变化；
（2）平移公式：设 为F上任意一点,它按向量 平移后的图形 上对应点为 ,则有 ；三点任知一点都可以求另一点,但要注意顺序性
例题解析
题型一 向量的坐标表示及运算
例1 平面内给定三个向量 , ,
（1）求满足 的实数 ；
（2）若 ‖ ,求实数 ；
（3）若 ‖ ,且 ,求 .
解析：（1）由题意得 ,
所以 ,得 .
（2） , ,
, .
（3）设 , , ,由题意得 ,解得 或 , 或 .
题型二 用平面向量的坐标解决向量共线问题
例2 已知向量 , , , 且 ‖ ,求 .
解析： ,
. ‖ ,
,解得 .
题型三 图形的平移
例3 已知在平行四边形 中,点 , ,
的中点为 ,将平行四边形 按向量 平移,使 点移到原点 .
（1）求向量 ；
（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
解析：（1）由平行四边形 可得 ,设 , ,则 ,
又 的中点为 ,则 ,
解得 , ,即 , , .
（2）由平移公式得 , , , .
课后练习
1.若 , ,且 ‖ ,则 等于( )
A.2 B. C. D.
2.若向量 , , ,则实数 的值为( )
A． B. C.2 D.6
3.若向量 , , ,则实数 的值为( )
A． B. C.2 D.6
4.已知向量 , ,设 , ,若 ‖ ,则实数 =( )
A. B. C. D.1
5.已知 , ,则函数 的最小正周期是( )
A. B. C. D.
6.若向量 , , ,满足条件 ,则 _______
7.若平面向量 ,满足 , 平行于 轴, ,则 __________
8.已知向量 , , ,则 ___________
9.已知平面向量 , ,若 ,则 ____________
10.已知 中, , , , 边上的高为 ,求 .

11.已知向量 , , ⊥ , ‖ ,试求满足 的 的坐标.

12.已知向量 , , .
（1）若 ⊥ ,求 ；（2）求 的最大值.

Answer 2

多看多做多练