Question

请教一道高中数学三角函数问题

已知函数f(x)=sin(wx+φ）（w＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图像关于点M（3π/4，0）对称，且在[0，π/2]上是单调函数，求w和φ的值。

这道题费了我好长时间，希望高手帮帮忙啊，最好过程详细点。好的追加分。

Answer 1

f(x)是偶函数，所以f(x) = f(-x)，即sin(wx + φ) = sin(-wx + φ), 两边用正弦公式展开得sinwx cosφ + coswx sinφ = -sinwx cosφ + coswx sinφ，所以cosφ = 0, 而0≤φ≤π, 所以φ = π/2
所以f(x) = sin(wx + π/2)
f(3π/4) = 0，即sin((3w/4 + 1/2)π) = 0，所以((3w/4 + 1/2)π) = kπ（k是整数），w = (4k-2)/3。
因为f(x)在[0，π/2]上单调，所以f(x)的周期不小于π。所以w<=2。所以w的范围为(0,2]。由上式易知w = 2/3或2。

Answer 2

哎,就是不知道怎么写过程...
结果:
W=2 φ=π
分析:

首先 函数为偶函数,图像必关于Y轴对称 y=sin w(x+φ/w)的形式 得到φ/w= π/2
图像 关于点M对称 M点应该在一个最小周期内图像的尾巴或开头位置
则一个完整周期应该是从(-1/4 π, 3/4 π) 即一个周期.
而为什么要认为是一个周期,而在这个范围内不是几个周期呢?
因为最后一句话:"[0，π/2]上是单调函数" 说明[0，π/2]为函数的半个周期,得到
周期 T=π 得到W=2
这只是推理过程....具休该怎么写明,你综合一下.

Answer 3

f(x)=sin(wx+φ）（w＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函数,根据三角函数图像可知，
∴f(0)=sinφ=1或-1,0≤φ≤π,sinφ=-1不成立，
φ=π/2......f(x)=coswx
图像关于点M（3π/4，0）对称
∴f(3π/4)=cos(3wπ/4)=0
[0，π/2]上是单调函数，3π/4-π/2=π/4，
所以要么①[0，π/2]单调减，然后[π/2，3π/4]单调增，要么，②[0,3π/4]单调减。
①情况，T=π=2π/w,w=2
②情况，T=3π=2π/w,w=2/3

Answer 4

sin(wx+φ）=sin(-wx+φ）==>sinwxcosφ+coswxsinφ=sinφcoswx-sinwxcosφ
sinwxcosφ=0 cosφ=0 , 又0≤φ≤π ∴ φ=π/2 , 此时 f(x)=coswx
由图像关于点M（3π/4，0）对称可得：w*3π/4=kπ+π/2 ，w=(4k+2)/3,k∈Z
且在[0，π/2]上是单调函数 ， 所以 wx∈【0，（2k+1)/3]包含于【0,π】
所以 ，（2k+1)/3<=1, K<=1 所以w=2/3或2

追问

sin(wx+φ）=sin(-wx+φ）是如何变化到sinwxcosφ+coswxsinφ=sinφcoswx-sinwxcosφ的不太明白，是应用什么公式或原理吗，希望能讲一下。

追答

展开 用和差角正弦公式

Answer 5

φ=π/2 w=4/3
因为偶函数所以φ属于π/2 +kπ
又因为0≤φ≤π所以φ=π/2
又因为其图像关于点M（3π/4，0）对称
所以W*3π/4+π/2=π/2或3π/2
所以W=4/3（因为W大于0.，W*3π/4+π/2=π/2求出来的小于0）
刚好在[0，π/2]上是单调函数

Answer 6

f(x)是偶函数，f(x) = f(-x)，所以sin(wx + φ) = sin(-wx + φ), sinwx cosφ + coswx sinφ = -sinwx cosφ + coswx sinφ，所以cosφ = 0, 而0≤φ≤π, 所以φ = π/2
所以f(x) = sin(wx + π/2)
f(3π/4) = 0，即sin((3w/4 + 1/2)π) = 0，所以((3w/4 + 1/2)π) = kπ（k是整数），w = (4k-2)/3。
因为f(x)在[0，π/2]上单调，所以f(x)的周期不小于π。所以w<=2。所以w的范围为(0,2]。由上式易知w = 2/3或2。