Question

求函数y=x+4+√(5-x^2)的最大值和最小值。

Answer 1

因为5-x^2>=0
-√5<=x<=√5
设x = √5sina 范围[-π/2,π/2]
有y=x+4+√(5-x^2) = √5 sina + 4 + √5cosa = √5 * √2 * sin（a+π/4）+ 4
=√10 *sin（a+π/4）+ 4
a+π/4 范围[-π/4,3π/4] 所以sin（a+π/4）范围[-√2/2,1]
所以y范围在[-√5+4,√10+4]

追问

不用函数呢？

追答

不用sina做变换可就很难了,除非你会求导.
这种根号里有平方的题目,第一反应就是做三角变换的

Answer 2

设x=√5sinθ,-π/2≤θ≤π/2
√(5-x^2)=√5cosθ
y=√5sinθ+√5cosθ+4
==√10sin(θ+π/4)+4
θ=-π/2，最小y=4-√5
θ=π/4，最大y=4+√10

追问

不用函数呢？

追答

还可以用导数来求，不过因为有根号的关系，讨论起来，可能要麻烦一些，不如用三角函数快。