Question

高三数学题目求解

如图的题目，是一个不等式和函数的题目。谢谢大家，要详细解答过程。好的话，再追加。
已知函数f(x)=x + 1/x +a^2，
g(x)=x^3 -a^3 +2a +1，
若存在x1,x2∈[1/a,a](a>1),使得| f(x1) - g(x2) |≤9，求a的取值范围。

Answer 1

设h（x）=f（x）-g（x）=x+1/x-x³+a³+a²-2a-1 ，求导=1-1/x²-3x²，
只要f（x）的最大值减去g（x）的最小值小于9，或者f（x）的最小值减去g（x）的最大值小于9即可。
由于1在区间[1/a,a]上，因此f（x）的导数=1-1/x²，其极值点在区间上，最大值为f（a）=f（1/a）=a+1/a+a²，最小值为f（1）=2+a²
g（x）在区间[1/a,a]上单调递增，因此最大值g（a）=2a+1，最小值g（1/a）=1/a³-a³+2a+1
所以有a+1/a+a²-（1/a³-a³+2a+1）<9且2+a²-（2a+1）<9解出来

追问

是f（x1）-g（x2），你看错题了。

Answer 2

|f(m)－g(n)|≤9，即两个函数的落差小于等于9 (因为两个函数相应的自变量的值是不同的)，函数g(x)的指数看不清，基本思路就是这样的。

追问

方法我会。而且左边解出来是R，右边不会，主要是因式分解的问题，我给你看我化简的结果：
a^3 + a^2 -a +1/a + 1/a^3 <= 10

追答

你的函数g(x)的x到底是几次方，我看不清。你弄清楚点，我来解。

追问

g(x)=x^3 -a^3 +2a +1

追答

f(x)在[1/a，a]上的单调情况是：[1/a，1]减，则[1，a]上增；g(x)在[1/a，a]上递增，既然是“存在”，则：只要函数h(x)=|f(x)－g(x)|在区间[1/a，a]的最小值大于等于9就可以了，即函数f(x)与g(x)的最小落差小于等于9就可以了。f(x)最小是f(1)=2＋a²，最大是f(1/a)=f(a)=a＋1/a＋a²；g(x)最小是g(1/a)=1/a³－a³＋2a＋1，最大是g(a)=2a＋1。则f(x)与g(x)的最小落差是|f(1)－g(1/a)|=|a³－1/a³＋a²－2a＋1|=a³－1/a³＋a²－2a＋1=(a³－1/a³)＋(a－1)²【这个肯定不会是最小落差】或|f(1)－g(a)|=|a²－2a＋1|≤9，得－2≤a≤4。

Answer 3

这个高次的因式分解的确不好算，感觉应该有别的技巧。
睡觉去了明天来帮你解