Question

初中数学题

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的○O分别交BC,AC于点D,E，连接EB交OD于点F。
（1）求证OD⊥BE
(2) 若DE=√5/2，AB=5/2，求AE的长。

Answer 1

证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD‖AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）设AE=x，
由（1）可得∠1=∠2，
∴BD=ED= 52，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF= 1/2AE= 1/2x，DF=OD-OF= 5/4-1/2x．
在Rt△DFB中， BF平方=DB平方-DF平方=(根号5/2)平方-(5/4-1/2x)平方；
在Rt△OFB中， BF平方=OB平方-OF平方=(5/4)平方-(1/2x)平方；
∴ (根号5/2平方)-(5/4-1/2x)平方= (5/4)平方-(1/2x)平方．
解得 x=3/2，即 AE=3/2．

Answer 2

证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD‖AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）设AE=x，
由（1）可得∠1=∠2，
∴BD=ED= ，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF= AE= ，DF=OD-OF= ．
在Rt△DFB中， ；
在Rt△OFB中， ；
∴ = ．
解得 ，即 ．

Answer 3

证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD‖AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）设AE=x，
由（1）可得∠1=∠2，
∴BD=ED= 52，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF= 12AE= 12x，DF=OD-OF= 54-12x．
在Rt△DFB中， BF2=DB2-DF2=(52)2-(54-12x)2；
在Rt△OFB中， BF2=OB2-OF2=(54)2-(12x)2；
∴ (52)2-(54-12x)2= (54)2-(12x)2．
解得 x=32，即 AE=32．