Question

已知关于x的方程x^3+ax^2+bx+c=0的三个实数根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则a的

取值范围是

Answer 1

抛物线的离心率为1，将1代入得到1+a+b+c=0。c=-a-b-1，代入方程得x³+ax²+bx-a-b-1=0。分解得(x-1)[x²+(a+1)x+a+b+1]=0。
于是方程另两根满足x²+(a+1)x+a+b+1=0，由已知得此方程的两根一个大于1，另一个大于0而小于1。
记f(x)=x²+(a+1)x+a+b+1，则f(0)>0且f(1)<0，即a+b+1>0且2a+b+3<0。
所以-(a+b+1)<0与2a+b+3<0相加得a<-2。

追问

为什么（由已知得此方程的两根一个大于1，另一个大于0而小于1）可以得出（记f(x)=x²+(a+1)x+a+b+1，则f(0)>0且f(1)<0），详细些，谢谢，回答好给分

追答

椭圆离心率大于0而小于1，双曲线的离心率大于1。
方程f(x)=0的两根即是一个大于1，另一个大于0而小于1。画此二次函数图象，开口向上。由图象及零点存在定理可得到f(0)>0且f(1)<0。
画一下图象就会很直观看出这个条件。（其实图象只是辅助，为了更好地理解而已）

Answer 2

同学是不是在做金太阳啊？

追问

嗯