Question

高中三角函数

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且满足2c-b/a=cosB/cosA
(1)求角A的大小
（2）若a=2√5，求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

(1)
设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
(2c-b)/a=(2ksinC - ksinB)/(ksinA)=(2sinC-sinB)/sinA
∴(2sinC-sinB)/sinA=cosB/cosA
即sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA=2sinCcosA-sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA
即sin(A+B)=2sinCcosA
即sinC=2sinCcosA
∴cosA=1/2
A=60°

(2)
∵a/sinA=b/sinB=C/sinC=2√5/(√3/2)=4√5/√3
∴(bc)/(sinBsinC)=(4√5/√3)²=80/3
bc=(80/3)sinBsinC
S△ABC
=(1/2)bcsinA
=(1/2)×(80/3)sinBsinC×(√3/2)
=(10/√3)×(2sinBsinC)
=(10/√3)×[cos(B-C)-cos(B+C)]
=(10/√3)×[cos(B-C)+(1/2)]
≤(10/√3)×[1+(1/2)]=5√3
当且仅当B=C=60°时等号成立
∴当B=C=60°时，Smax=5√3