Question

100分.割线法迭代求根的收敛阶为什么是1.618?求证明.

用割线法迭代公式求方程根时(公式为 x_{n+1} = x_n - f[x_n]( x_n - x_{n-1} ) / (f[x_n]-f[x_{n-1} ) 就是牛顿法用差商代替微分之后的表达式),书上其收敛阶是(1+根号5)/2=1.618,比牛顿法略慢而比二分法快,并且不用算函数的微分表达式所以是复杂函数求根的常用方法.但是我查阅了很多书都是直接给出这个收敛阶而没有证明,想问问看大家能帮我解答这个疑惑不.
如果写不下可以发我邮箱famx_pencil@163.com,也可以直接发一本有证明的书过来,谢谢了.

另,用抛物线法插值求根迭代的收敛阶是1.839,更是不明白了.可以的话一并帮我解答了吧,呵呵.

Answer 1

这个其实就是牛顿法的改进
( x_n - x_{n-1} ) / (f[x_n]-f[x_{n-1} )相当于Δx/Δy，也就是牛顿法的1/f'(x)
将牛顿法x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))
中的 f'(x(n))用Δy/Δx代替，然后用相邻的已经计算的两个点代进去就是这个公式了。

Answer 2

我重述下这个问题 设f(x)在[a,b]上二次可微 且f(a)*f(b)<0，f'(x)>0 ,f''(x)>0,有序列{xn}满足
x(n+1)=xn-f(xn)/f'(xn),xn有极限且极限为f(x)=0的根。
你所说的收敛阶1.618刚好是递推关系式 x(n+1)=xn-x(n-1)的xn的极限。