Question

已知函数f（x）=e^x-x^2+ax-1

过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点M，求切点M的横坐标
若x大于等于0，不等式f(x)大于等于0恒成立，试确定实数a的取值范围

Answer 1

解：
1)
设切点（x，y）
首先求切线的斜率
f'(x)=e^x-2x+a
而已知是过原点的直线，所以斜率也满足
k=y/x=(e^x-x^2+ax-1)/x
根据上面两个式子相等
得到，
e^x-2x+a=(e^x-x^2+ax-1)/x
求的，（x-1)e^x=x^2-1
e^x=x+1
求的x=0
所以，切点为(0,0)
2)
x>=0时，f(x)=e^x-x^2+ax-1>=0恒成立
显然，当x=0时，0>=0恒成立，此时a∈R
当x>0时，a>(1+x^2-e^x)/x恒成立
所以转化成了函数g(x)=(1+x^2-e^x)/x的在x>0上的最大值问题了，下面我们求导来求
g(x)=(1+x^2-e^x)/x
g'(x)=[x^2+(1-x)e^x-1]/x^2
因为g'(x)无法判断正负，那么我们还得假设h(x)=x^2+(1-x)e^x-1根据他的单调性判定正负
。。。。
下面你就自己解一下了O(∩_∩)O哈！
这道题考的第二问里面是一个关于恒成立的题目，一般我们都是经过恒等变形，将未知变量移到一边去，这样就转化成了求一个函数的最大值或者最小值问题了，这是典型例题，希望哈好搞懂，而至于下面解法中的关于导函数无法判断正负的时候，我们还需要另外设一个函数等于导函数的某一部分，这样子才能求解
希望这道题能给你一点帮助，祝你学习进步O(∩_∩)O哈！

Answer 2

关于切线的问题关键是要设切点后再求导后写出直线方程要代入点救出参数即可！
你掌握这个方法后什么题都做得除了
2要写成e^x>=x^2-ax+1用图像解吧，画一个指数函数图和一个2次函数图看的出A大于0

Answer 3

解:原函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2，
已知x>=0
f(x)>=0
因为:f(0)=0,
在x>0情况下，要使f(x)>0,只要函数为单调递增函数就行了。
函数单调递增的条件为f'(x)>0
即f'(x)=(e^x-1)+xe^x-2ax=(e^x-1)+x(e^x-2a)>0
因为(e^x-1)>=0,
e^x>=1
则有不等式:1-2a>0
解得:a<1/2
故:a的取值范围为:a<1/2