Question

设函数f〔x〕对任意x，y属于R，都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，且x＞0时，f〔x〕＜0。

⑴证明f〔x〕为奇函数，⑵证明f〔x〕在R上为减函数

Answer 1

(1) 【证明f〔x〕为奇函数,即证明 f(-x)=-f(x)】
f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕， 将 x=0 ,y=0 代入 ，可得：f(0)=f(0)+f(0),那么 f(0)=0
将 y=-x 代入 f(0)=f(x)+f(-x) =0 那么： f(-x)=-f(x)
因此 f〔x〕为奇函数
(2) 【证明f〔x〕在R上为减函数 ,即证明： 当x1＜x2 时候，f(x1)>f(x2)】
先设 x1＜x2 ，由f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕可得: f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1),
∵ x1＜x2，∴ x2-x1>0
由题目中：且x＞0时，f〔x〕＜0 可知：f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)<0
f(x2)+f(-x1)<0 ,f(x)是奇函数，那么 f(x2)-f(x1)<0 推出： f(x1)>f(x2)
综上所述：x1＜x2 时 f(x1)>f(x2) 因此：f〔x〕在R上为减函数

Answer 2

证明：（1）令x=y=0，则有f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），所以f（0）=0.再令y=-x，则f（x-x）=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0，所以f〔x〕为奇函数。
（2）设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+[-f(x2)]=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,所以f〔x〕在R上为减函数

Answer 3

y=0时，f（x+0）=f（x）+f（0）：f（0）=0；y=-x时；f（x-x）=f（x）+f（-x）；f（x）=-f（-x）；所以其为奇函数；令x1>x2,设x=x1，y=-x2，则，f（X1-X2）=f（X1）+f（-X2），而f（-X2）=-f（X2），则，f(X1-X2)=f(X1)-f(X2),又X1>X2,得到X1-X2>0,说明，f(X1-X2)<0,推出f(X1)-f(X2)<0,故得到，f(X1)<f(X2).证明到f(x)在R上减函数

Answer 4

证明：1. f（0）=f（0+0）=2f（0），所以f（0）=0
f（0）=f（x+（x））=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x），即f（x）为奇函数
2.f（x+1）-f（x）=f（x）+f（1）-f（x）=f（1），因为x=1＞0，所以f（1）＜0
所以f（x）在R上为减函数

Answer 5

(1) x = 0, y =0, f(x+y) = f(0) = f(x) + f(y) = f(0) + f(0)
f(0) = 0
y = -x: f(x+y) = f(0) = 0 = f(x) + f(-x)
f(-x) = -f(x)
f〔x〕为奇函数

(2)d>0, f(x+d) - f(x) = f(x) + f(d) - f(x) = f(d) < 0
f〔x〕在R上为减函数