Question

请问这种概率学的题目您会吗？

考虑均匀分布在三角形T={(x,y):x>0, y>0, x+y<9}的随机变量（X，Y）
(a) 请写出（X，Y）的联合概率密度函数，f(X,Y) (x,y)；并且画出三角形T的非0部分。
(b)解释为什么X和Y为互相依赖的（无需计算证明）
(c)找出Y的边缘概率密度函数，fY(y).验证其为概率密度函数
(d)假设y被固定在（0,9）间，写出x的值使其满足fX|Y=y（x|y）为非零
(e)找出在你在d中得到的 fX|Y=y（x|y）的取值范围
(f)计算Cov（X，Y）

麻烦你了。万分感谢

Answer 1

在上班，先答第1道咯，有空再慢慢答。望追问一下，我好查记录。
(1) 三角形由x,y轴和x+y=9组成，可以算出三角形的面积为81/2
∫∫P(X,Y) = 1 （双重积分，积分限是x>0, y>0, x+y<9）
因为是均匀分布，所以P(X,Y) 是常数，所以∫∫P(X,Y) dxdy = P(X,Y) ∫∫dxdy = 1
P(X,Y) * 81/2 = 1 所以 P(X,Y) = 2/81 (x>0, y>0, x+y<9)
三角形T的非0部分就是三角形去除3边的部分了。
(2) 因为x+y<9,所以y的取值,一定程度上依赖x ,因此XY两个随机变量并不独立 。
(3) 因为f(x,y)恒为2/81，实际上f(x,y)就是概率密度函数，在多维里P(X,Y)常用f(x,y)表示。
所以随机变量(X,Y)的边缘分布函数fY(y) = ∫f(x,y)dx (积分限是对x的范围，实际就是0到9-y) (实际上就是把f(x,y)不要的变量x积分掉)
= 2/81 * x （x上下限0到9-y）
= 2/81 * (9-y)
=2/9-2/81 * y
验证：∫fY(y)dy (积分限0-9，这里和x已经没有关系了)
=2y/9-y^2/81 (y上下限0到9)
=2/9 * 9 - 1/81 * 9^2
=1
所以 fY(y) =2/9-2/81 * y确实是密度函数。
(4)fX|Y=y（x|y），这个式子看了好半天才明白。。。。汗！不妨记为K吧。。
它表示：给定Y=y下X的条件分布。
实际上有公式：K = f(x,y) / fY(y) （严格说是条件分布的定义，不是公式）
f(x,y) ， fY(y)都已经求出了，简单代入得：K = (2/81) / (2/9-2/81 * y)
=1/(9-y)
到这里很悲哀，我看不懂题目的意思，因为题目问的是x。。。。
要硬说 K 非零的话，只有y不趋向无穷，但是y在(0,9)之间，所以显然不可能是0，x的范围应该是定义域内任意的值。
(5) 第5步了，这题写起来还真麻烦啊 。。。
因为y在(0.9)之间，第4题中K的范围显然是 K>1/9
(6) 有公式 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
所以我们要知道E(XY),E(X),E(Y)的值。
因为y<9-x
E(XY) = ∫∫xy * f(x,y)dydx (第一个积分限是0到9,第二个是0到9-x)
=2/81 *∫∫xy dydx
= 27/4 （中间过程是简单解积分，略掉了。。）
E(X) 一样，只是把上面式子的xy换成x 算出是3
E(Y) 同理算出是3
所以Cov(X,Y) = 27/4 - 3*3 = - 9 /4
累死了，复习的同时，希望能够帮到你。。。。。

Answer 2

楼主你好
没做过这种题，不过我可以给你试试，把我能做的部分做了
1. 既然是均匀分布，则f(x，y)=c，且∫(从0到9)∫(从0到9-x)cdydx=1，求∫(从0到9)∫(从0到9-x)cdydx，可以得到∫(从0到9)∫(从0到9-x)cdydx=81c/2=1，所以c=2/81，所以f(x，y)=2/81，x＞0，y＞0，且x+y＜9
2. 因为如果你选定了一个x，则y必须要满足x+y＜9才行。就比如你x=3，则y绝对不能大于等于6，所以等于y受到了x的限制，即x和y不是独立的
3. fY(y)=∫(从0到9-y)(2/81)dx=(2x/81)(下0上9-y)=2(9-y)/81=(2/9)-(2y/81)。它是密度函数，因为∫(从0到9)[(2/9)-(2y/81)]dy=(2y/9-y^2/81)(下0上9)=2-1-0+0=1
4和5不好意思我实在是没看懂
6. 我只学过discrete random variable的covariance该如何计算，没学过这种，不好意思了

希望你还满意，至少解决了前3问

Answer 3

看图片吧,公式不好输入. 楼上的E(XY)计算有误,望查证.

Answer 4

不会。