Question

设函数f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)=f(2a)

设函数f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)=f(2a),证明至少有一点x属于[0,a],使得f(x)=f(x+a).

Answer 1

证明：设F(x)=f(x)-f(x+a)，则
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(2a)
两式相加得，F(0)+F(a)=f(0)-f(2a)=0
即F(0)与F(a)异号
由零点定理，至少有一点x属于[0,a],使得F(x)=0
即至少有一点x属于[0,a],使得f(x)=f(x+a)

Answer 2

0点定理 设F(x)=f(x)-f(x+a) 在{0，a}上 有F(0)F(a)<0 既有一点x 使F（x）=0