Question

设x，y为实数，且x2+xy+y2=1，求x2-xy+y2的值的范围

设x，y为实数，且x²+xy+y²=1，求x²-xy+y²的值的范围

Answer 1

解：设x2-xy+y2=A
x2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相加可以得到：
2（x2+y2）=1+A （1）
x2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相减得到：
2xy=1-A （2）
（1）+（2）×2得：
2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2=3-A≥0
∴A≤3，
（1）-（2）×2得：
2（x-y）2=3A-1≥0，
∴A≥ 13．
综上： 13≤A≤3．

追问

不明白，前面的过程是A≤3和A≥ 13，怎么到了后来结论成了13≤A≤3？

追答

3≤A≤13最大值13，最小值3

追问

可以讲得再详细一点吗？我实在是不懂，前面是A≤3，后面怎么是A≥3

Answer 2

设x²+xy+y²=A，x²-xy+y²=B
则有3A-B=2(x+y)²≥0，所以B≤3
3B-A=2(x-y)²≥0，所以B≥1/3
所以1/3≤B≤3