Question

初中数学几何题：直角梯形ABCD中AD平行BC,AB垂直BC,∠DCB=75°以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上

直角梯形ABCD中AD平行BC,AB垂直BC,∠DCB=75°以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上，如图2.若F为线段CD上点，∠FBC=30，求DF分之FC.若AD=根号3+1，求梯形的面积

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解；
（2）方法一：连接AC，根据等腰直角三角形的判定方法进行证明；
方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点F．构造全等三角形，结合矩形的性质进行证明；
（3）连接AF，BF、AD的延长线相交于点G．根据三角形的内角和定理以及（2）的结论发现等边三角形ABF，进一步发现全等三角形，即△BCF≌△GDF，从而求解．
解答：解：（1）∵∠BCD=75°，AD‖BC，
∴∠ADC=105°．
由等边△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD‖BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）方法一：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又AB⊥BC，
∴BA=BC．

方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点F．
可证得：△DFC≌△CBE，则DF=BC．
从而AB=CB．

（3）∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD‖BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
∴ DFFC=1．