Question

请问各路高手：一阶的矩阵和行列式怎么理解？

矩阵是数表，即把数字按照一定的顺序进行列出，那么按照此逻辑一阶的矩阵就是将一个数字列出，那么一阶矩阵就是数吗？例如元素为3的一阶矩阵，那么其就是数字“3”么，如果不是那么是怎么解释的呢？
还有，一阶的行列式在表示形式上同数字的绝对值是完全一样的，那么元素为-1的一阶行列式是等于1吗？
往各路高手给以解答，不胜感激
不好意思，大家的回答存在矛盾之处，不知道相信谁好了，能不能进一步说明下，实在是很困扰，愿意提升悬赏。无论如何，大家的回答都非常认真，非常感谢大家的热心帮助。

Answer 1

我可以负责任地说，严格来讲，一阶矩阵是由一个数构成的矩阵（一行一列矩阵），所以从概念上说，一阶矩阵和数是两个概念。如果严格区别的话，按标准写法，以3为元素的一阶矩阵应该写成(3)或[3].

但是从理解角度讲，无妨把一阶矩阵看成一个数，不会有任何矛盾之处，按这样理解，矩阵的基本运算都很自然：矩阵乘法就是数的乘法，逆矩阵就是倒数，转秩就是它本身。而且从理解的角度讲，这种观点更值得鼓励，因为它反映了一阶矩阵的本质。

一阶矩阵的行列式就是该元素本身(可以看作定义)，元素为-1的一阶行列式就是-1. 至于形式上与绝对值一样，那个只是巧合而已……况且如果你用标准写法的话应该是|(-1)|，这样看起来就与|-1|区别开了。

注意，如果你理解成绝对值，那与行列式的基本性质是矛盾的！行列式有个基本性质，要求把矩阵某一行上的数都添上负号以后，行列式值也变为原来的相反数。这样一阶矩阵(-1)的行列式应该是一阶矩阵(1)行列式的相反数，即|(-1)|=-|(1)|. 如果你理解成绝对值，两边就不相等了。

固然按定义矩阵不是数，但他们的本质是一样的。至于矩阵运算，我前面已经说了：矩阵乘法就是数的乘法，逆矩阵就是倒数，转秩就是它本身，都很自然的嘛。一阶矩阵看成一个数怎么不行？数学虽然讲究严谨，但严谨的语言只是载体，要看事物的本质而不是表象，像一阶矩阵和数这两种事物，就属于表面上不同而本质上相同的，理解成同一概念有何不可？楼主应该是大学生，已经过了中学死抠定义的教条阶段了，关键是要理解定义的本质，以及与其他概念之间的内在联系。事实上，二阶以上的矩阵才真正体现出矩阵的特点，比如乘法不交换等等，一阶矩阵本质上就是纯数，一阶矩阵的乘法也是可交换的，它并没有体现“矩阵”这个概念的典型之处。
------------
(以下是补充)

to"羊欢草长&草长羊欢": 你看，我第一段就说了(原样没改哦~)：从定义上讲，一阶矩阵和数是两个事物。后面那一大段我只是想强调可以把一阶矩阵理解成数，而且这样理解反映本质。正因为二者不同，才有我所谓的“本质相同”一说，否则，说两个一样的东西“本质相同”有什么意义呢？
我说你教条可能过分啦，已删，抱歉:)不过作为一个学了十几年数学的人，定义的重要性我还是知道的~~只是我觉得数学学深一点之后，重要的是理解本质而不是抠定义。当然，这是建立在充分理解定义的基础之上的。
(汗…成聊天了…)

最后to楼主：其实我觉得以上这些解答都对，但角度不同。我说的侧重于理解，其他人说的侧重于强调概念本身的定义。最后总结一下吧：按定义，一阶矩阵是1行1列的矩阵，是一种特殊的矩阵，和纯数不是一个概念。不过1阶矩阵的性质和数的性质可谓本质上相同（至少从数学上看是这样），在做1阶矩阵间的加法、乘法、求逆等运算时，不妨理解为数。但你要明白，以一阶矩阵之间的乘法为例，(a)(b)=(ab)是完全可以严格按矩阵乘法的定义得到的，它形式上可以看作数的乘法. 正因为如此，我才说“本质上相同”。

Answer 2

一阶矩阵的性质和一个数字的性质是一致的，因此我们一般没有一阶矩阵的称呼，如果矩阵是一阶，我们一般直接用数字这个概念。
行列式的值不一定是非负数，比如二阶斜对角矩阵，若斜对角上的元素都是正的，那么这个二阶矩阵的行列式就是斜对角元素相乘然后再乘于-1.
因此一阶矩阵的行列式就是元素本身

Answer 3

矩阵是由m乘n个“元素”，组成的m行、n列的“表”，但不能说它是数字。
行列式的外形，好像是一个表，但是，它可以计算出来一个数字，称为行列式的值。
矩阵，可以按照行列式的计算规则，计算出来一个数字，称为矩阵的行列式的值。
一阶的矩阵，仍然是一个表，它不是数字。
一阶的行列式，有它自己的值，就是它之中的数。

Answer 4

不好意思，把'德洛伊弗"同学的名字打错了，因为修改次数已到上限，换个马甲说明一下。 实在是看见这个名字我就想起了“弗洛伊德”~~
我小时候，我高中毕业的父亲对我说“书本上的定义定理是最重要的，精炼准确，是多少专家的心血，你多读几遍就发现，定义定理里面没有一句废话，直指重点”我当时很不以为然，现在我确深以为然。

Answer 5

不论几阶行列式，最终都等于一个确切的数字（参照行列式的计算方法）。而所谓的一阶行列式和同数字的绝对值也仅仅是“表达形式”相同，仅由负1组成的一阶行列式值为负1.
而矩阵是由m乘n个数字组成的m行、n列的数表，把矩阵看成是一个表，而不要单独的看成一个数字。
什么“一阶矩阵的的本质是一个数”，”一阶矩阵的性质和一个数字的性质是一致的“，纯粹扯淡。矩阵有矩阵的定义，矩阵的性质，怎么会和数字一样，数字有转置矩阵，数字有逆矩阵？？
“做而论道”童鞋说的正确（补充一点，只有方阵有对应的行列式），至于其他可以忽略。或者你仔细看看课本，不难理解的。
有什么问题可以百度HI我。
以下是回应弗洛伊德：
一阶矩阵的乘法，逆矩阵，固然与数字的乘法倒数有相同之处，但也仅仅是运算上的相同，不要说“本质”“性质”相同，误导楼主，矩阵就是矩阵，数字就是数字，你可以灵活理解，但要看到他们的不通。不是我教条主义，是你太小看定义了，很多问题不理解，题目不知道怎么入手，其实都是对定义概念不清，理解不深刻，如果楼主真正理解了矩阵的定义，又这么会对一阶矩阵和数字之间有困惑。
总之一句话：你可以用数字运算去理解矩阵，但要明白矩阵和数字是两个概念。