Question

如图，△ABC是等边三角形，P为三角形内任意一点，边长为1.

⑴求证PA+PB+PC＞1.5
⑵当P在哪里时，PA+PB+PC的值最大？哪里最小？
尽量别用三角函数，我没学呢
图在这呢
为什么只有当P为△ABC中点时，∠BPC才为120°？
为什么PA+PB+PB最小时，CA1恰好垂直于AB？

Answer 1

（1）证明:在三角形PAB中，PA+PB>AB,
同理，PB+PC>BC,
PA+PC>AC
将三个不等式左右分别相加，得2（PA+PB+PC）>AB+BC+AC
因为AB=BC=AC=1 所以2（PA+PB+PC）>3
即：PA+PB+PC>1.5
(2)当P为三角形ABC中心时最小，P为顶点时最大
证明：将三角形PBA绕点B逆时针旋转60度，得三角形P1A1B，旋转后P1A1=PA,P1B=PB
∵∠P1BP=60°且BP1=BP,所以△P1BP为等边三角形
∴PB=P1B=PP1
∴PA+PB+PC=P1A+P1P+PC
若要使PA+PB+PC最短，则需P1A+P1P+PC最短
又∵两点之间线段最短，若要使P1A+P1P+PC最短，则需使A1、P1、P、C在同一线段上
∵∠BP1B=∠BPP1=60°，若要使四点共线，则需∠BP1A1=∠BPC=120°
只有当点P位于△ABC中心时，∠BPC才为120°
因此，当P为△ABC中心时PA+PB+PC最小

我们发现，当PA+PB+PC最小时，CA1恰好为垂直平分边AB，
过点A1做A1C的垂线，延长CA与A1C的垂线交于A2
在△A1A2C中，CA1最短（因为是垂线）=根号3，CA2最长=2
而当P在顶点上时PA+PB+PC=1+1+0=2，此时最长

几何很有意思的，好好学哦~加油~！

Answer 2

解：1. PA+PB>1 PB+PC>1 PC+PA>1
3个不等式相加
2(PA+PB+PC)>3
得出 PA+PB+PC>3/2=1.5
2. 当P在等边三角形的中点时 PA+PB+PC最小
当P在三角形的任意一个顶点时 PA+PB+PC最大
希望能帮助到你 ！快采纳吧!

Answer 3

证明：1）因为PA+PC>AC，PA+PB>AB，PB+PC>BC；
则（PA+PC）+（PA+PB）+（PB+PC）>AC+AB+BC
则PA+PB+PC>(AC+AB+BC)/2
即PA+PB+PC＞1.5
2）当在三角形的中心时最大，当在三角形边上且为边中点时最小

追问

第一问我会证。第二问你证一下

Answer 4

当P为三角形ABC中心时最小，P为顶点时最大
证明：将三角形PBA绕点B逆时针旋转60度，得三角形P1A1B，旋转后P1A1=PA,P1B=PB
∵∠P1BP=60°且BP1=BP,所以△P1BP为等边三角形
∴PB=P1B=PP1
∴PA+PB+PC=P1A+P1P+PC
若要使PA+PB+PC最短，则需P1A+P1P+PC最短
又∵两点之间线段最短，若要使P1A+P1P+PC最短，则需使A1、P1、P、C在同一线段上
∵∠BP1B=∠BPP1=60°，若要使四点共线，则需∠BP1A1=∠BPC=120°
只有当点P位于△ABC中心时，∠BPC才为120°
因此，当P为△ABC中心时PA+PB+PC最小

我们发现，当PA+PB+PC最小时，CA1恰好为垂直平分边AB，
过点A1做A1C的垂线，延长CA与A1C的垂线交于A2
在△A1A2C中，CA1最短（因为是垂线）=根号3，CA2最长=2
而当P在顶点上时PA+PB+PC=1+1+0=2，此时最长

Answer 5

孩子，好好练拳击，将来抽出题那人。

追问

额。。第二题我自己想出来的

追答

给分。

追问

不给

追答

会了吗

追问

没会，你帮我证一下第二问啊

追答

当P为三角形ABC中心时最小，P为顶点时最大
证明：将三角形PBA绕点B逆时针旋转60度，得三角形P1A1B，旋转后P1A1=PA,P1B=PB
∵∠P1BP=60°且BP1=BP,所以△P1BP为等边三角形
∴PB=P1B=PP1
∴PA+PB+PC=P1A+P1P+PC
若要使PA+PB+PC最短，则需P1A+P1P+PC最短
又∵两点之间线段最短，若要使P1A+P1P+PC最短，则需使A1、P1、P、C在同一线段上
∵∠BP1B=∠BPP1=60°，若要使四点共线，则需∠BP1A1=∠BPC=120°
只有当点P位于△ABC中心时，∠BPC才为120°
因此，当P为△ABC中心时PA+PB+PC最小

我们发现，当PA+PB+PC最小时，CA1恰好为垂直平分边AB，
过点A1做A1C的垂线，延长CA与A1C的垂线交于A2
在△A1A2C中，CA1最短（因为是垂线）=根号3，CA2最长=2
而当P在顶点上时PA+PB+PC=1+1+0=2，此时最长

追问

为什么只有当P为△ABC中点时，∠BPC才为120°？
为什么PA+PB+PB最小时，CA1恰好垂直于AB？

追答

当P为其他点时，∠BPC大于或小于120度，只有P为中心时才为120度°

追问

只要点P满足∠PAB+∠PAC=60°，你画画看，∠BPC都是120°的。

追答

ABC是等边三角形，无论P在哪∠PAB+∠PAC=60°。但不一定，∠BPC都是120°