Question

函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R。均有f（x+2）=f（x）成立。当x∈[0,1]时，当f（x）=log

函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R。均有f（x+2）=f（x）成立。当x∈[0,1]时，当f（x）=log以a为底的（2-x）（a＞1）。
问题（1）：当x∈[2k-1,2k+1]（k∈Z）时，求f（x）的表达式。
问题（2）：若f（x）的最大值为1/2，解关于x的不等式f（x）＞1/4.

Answer 1

：（1）当x∈[-1，0）时，f（x）=f（-x）=loga[2-（-x）]=loga（2+x）．
当x∈[2k-1，2k）（k∈Z）时，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=loga[2+（x-2k）]．
当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=loga[2-（x-2k）]．
故当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为f(x)=
loga[2+(x-2k)]，x∈[2k-1，2k)loga[2-(x-2k)]，x∈[2k，2k+1]​
（2）∵f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴f（x）的最大值就是当x∈[0，1]时，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=loga（2-x）在[0，1]上是减函数，∴[f(x)]max=f(0)=loga2=
12，∴a=4．
当x∈[-1，1]时，由f(x)＞
14得-1≤x＜0log4(2+x)＞
14​或0≤x≤1log4(2-x)＞
14​
得2-2＜x＜2-
2．
∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f(x)＞
14的解集为{x|2k+
2-2＜x＜2k+2-
2，k∈Z}．

Answer 2

1, 周期为2，当x∈[2k-1,2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为[－1,1]表达式。
f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）＝f（－x），0≤x≤1 时，f（x）＝㏒a（2－x） ☆
－1≤x≤0时，0≤－x≤1，满足☆，有f（－x）＝㏒a（2＋x）＝f（x），即当x∈[2k-1,2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为：
x∈[2k-1,2k]时， f（x）＝㏒a（2＋x）
x∈[2k， 2k+1]时， f（x）＝㏒a（2-x）。
2， 即求解?＜f（x）≤?。
由周期性，先求[－1,1]段解集。（∧为乘方号）
由?＜㏒a（2＋x）≤?， a∧? ＜2＋x≤a∧?， a∧?－2＜x≤a∧?－2，①
由?＜ ㏒a（2-x）≤?， a∧? ＜2-x≤a∧? ，,2－a∧?＜x＜ 2－a∧? ②
①②分别同 x∈ [－1,1] 求交集，有 a∧?－2＜x≤a∧?－2，或2－a∧?≤x＜ 2－a∧?，
得到在R解集为（ a∧?＋2K，a∧?＋2K]∪[2K＋4－a∧?，2K＋4 －a∧?） K∈Z

Answer 3

∵函数f（x）是定义域为R的偶函数，
∴f(-X)=f(x)
∵当x∈[0,1]时，f（x）=log以a为底的（2-x）（a＞1）,
∴当x∈[-1,0]时，f（-x）=log以a为底的（2+x）（a＞1）,
即当x∈[-1,1]时，f（x）=log以a为底的（2-│x│）（a＞1）,
(1)：∵x∈[2k-1,2k+1]（k∈Z）,∴(x-2k)∈[-1,1]
∵任意的x∈R。均有f（x+2）=f（x）成立,
f(x)=f(x-2k)=log以a为底的（2-│x-2k│）（k∈Z，a＞1）,
(2)：当x∈[-1,1]时，
（2-│x│）∈[1,2]
∵a＞1，
∴当（2-│x│）最大时f(x)最大，
当f(x)为最大值时，有log以a为底的2的对数-=1/2
则有a^(1/2)=2，a=4
则有x∈[-1,1]时，有log以4为底的（2-│x│）的对数>1/4
则2-│x│>根号2. │x│<2-根号2
x∈(根号2-2,2-根号2） 注意是小括号
则当x∈R时，x的解是x∈(根号2-2+2k，2-根号2+2k）（k∈Z）

Answer 4

2