Question

高中立体几何问题，急急急

1.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB，A1C的中点，求二面角M-B1C-A1的余弦值。 2.已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PCD⊥底面ABCD，E为PC中点，求二面角D-PB-C的正切值 第二题的图
答的好再加分！！

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Answer 1

1.连接BC1与B1C交于点O，连接AC1,因为四边形AA1C1C为矩形，所以AC1与A1C互相平分，即AC1与A1C交于点N,连接MO,MN,ON
因为三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,所以面BB1C1C⊥面ABC,
又面BB1C1C∩面ABC=BC,∠ABC=90°,所以AB⊥面BB1C1C,AB⊥B1C,
因为四边形BB1C1C为正方形，所以BC1与B1C横向垂直平分于点O，
所以B1C⊥面ABC1, B1C⊥MO, B1C⊥NO, ∠MON为二面角M-B1C-A1的平面角，
NO//AB,NO=AB/2=1,AB⊥BC1,NO⊥BC1,MN//BC1,MO=BC1/2=2√2/2=√2,
MN⊥NO,MO=√3,cos∠MON=NO/MO=1/√3=√3/3，二面角M-B1C-A1的余弦值为√3/3
2. 过E作EF⊥PB于F,连接DF,
因为四边形ABCD为正方形，所以BC=DC,BC⊥DC
因为面PDC⊥面ABCD, 面PDC∩面ABCD=DC, BC⊥DC,
所以BC⊥面PDC,又BC在面PBC中，所以面PBC⊥面PDC,
因为△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC,
所以DE⊥面PBC,DE⊥PB, DE⊥EF,又EF⊥PB,
所以PB⊥面DEF, PB⊥DF, ∠EFD为二面角D-PB-C的平面角。
因为BC⊥PC,BC=DC=PC,所以∠CPB=45°,EF=(√2/2)PE, ∠DPC=60°,DE=√3PE,
tan∠EFD=DE/EF=(√3PE)/ [(√2/2)PE]= √6, 二面角D-PB-C的正切值为√6,

Answer 2

1、
取B1C中点P，连接NP，因为NP与A1B1平行，所以NP与平面BB1C1C垂直，所以NP与CB1垂直，所以所求二面角即NP与平面MB1C夹角，亦即AB与平面MB1C夹角。做BQ垂直于B1C于Q，则所求角正切值为BQ/BM，通过AB=BC=BB1=2即可求得。
2、
做CO垂直于DB于O，连接PO，则所求即POB与PCB面积之比。由题可知PCB面积=PC×PC/2，PB=BD=PC×根号2，所以POB面积为PC×PC（根号7）/16；所以所求即（根号7）/8

Answer 3

尽提供关键步骤,我认为你看了后会明白了，其中 sqrt（x）表示根号x
[1].
思路：找到 M点到面B1CA1的距离，以及 M点到线B1C的距离，可得正弦值，再求余弦值
步骤 ：M点到面B1CA1的距离等于B点到面B1CA1的距离（因为AB//面B1CA1） ，过B做BD垂直B1C于D， BD即为B点到面B1CA1的距离（因为A1B1垂直于面BB1C1C，BD垂直于A1B1），BD=sqrt（2）， 链接MD，由B1C垂直于AB和BD，知B1C垂直于MD，在Rt三角形BMD中求出MD=sqrt（MB^2+BD^2）=sqrt(3), 所以二面角正弦值为BD/MD=根号2//根号3，余弦值为根号3分之一
[2].
思路：和第一题类似
步骤： 可证DE垂直于面PBC （因为BC垂直于面PCD==>>BC垂直于DE，加上DE垂直于PC而得）；做EH垂直于PB于H，连接DH，则角DHE即为所求二面角。
若设正方形边长为a，得DE=(sqrt（3）/2 )*a, EH=(sqrt(2)/4)*a
所以二面角正切值 DE/EH = sqrt(6)

Answer 4

[1].
思路：找到 M点到面B1CA1的距离，以及 M点到线B1C的距离，可得正弦值，再求余弦值
步骤 ：M点到面B1CA1的距离等于B点到面B1CA1的距离（因为AB//面B1CA1） ，过B做BD垂直B1C于D， BD即为B点到面B1CA1的距离（因为A1B1垂直于面BB1C1C，BD垂直于A1B1），BD=sqrt（2）， 链接MD，由B1C垂直于AB和BD，知B1C垂直于MD，在Rt三角形BMD中求出MD=sqrt（MB^2+BD^2）=sqrt(3), 所以二面角正弦值为BD/MD=根号2//根号3，余弦值为根号3分之一
[2].
思路：和第一题类似
步骤： 可证DE垂直于面PBC （因为BC垂直于面PCD==>>BC垂直于DE，加上DE垂直于PC而得）；做EH垂直于PB于H，连接DH，则角DHE即为所求二面角。
若设正方形边长为a，得DE=(sqrt（3）/2 )*a, EH=(sqrt(2)/4)*a
所以二面角正切值 DE/EH = sqrt(6)