Question

PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC

弱弱的问一下能不能这样证：
∵PA⊥面ABC，BC⊥AP，PA⊥AB
根据三垂线定理得出：
BC⊥PB
∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB，BC∈面PBC，BC⊥BP
∴BC⊥面PAB
∴BC⊥AB
如果不行，请指出错误在哪，应该怎样证明。

Answer 1

在平面PAB内，由A向PB作垂线AD垂直于PB，垂足为D。
平面PAB垂直于平面PBC，立体角A-PB-C为90，PB为棱， AD垂直于棱PB，所以AD垂直于平面PBC，AD垂直于BC。
又PA垂直于平面ABC，所以PA垂直于BC。
所以，BC垂直于AD， BC垂直于PA，也就是BC垂直于平面PAB内两条相交直线，所以BC垂直于平面PAB。所以BC垂直于AB。

追问

能不能运用三垂线定理

追答

没法用三垂线定理，三垂线定理是说，如果投影垂直于一条直线，则斜线本身也垂直于这条直线。或者反之亦然。
你现在要求证AB⊥BC， 如果要用三垂线定理，就要先证明PB⊥BC。
而PB⊥BC其实是和AB⊥BC同样难度和等价的一个问题，应为这两个命题才是三垂线定理的正反两面。
我给的证明思路是证明BC⊥平面PAB， 这样就垂直于平面内的任意直线了。

Answer 2

∵PA⊥面ABC
∴PA⊥BC，PA⊥AB
又∵平面PAB⊥平面PBC
∴BC⊥PB
∴BC⊥面PAB
∵面PAB∩面PBC=PB，AB∈面PAB，BC∈面PBC
∴BC⊥AB

有的要分开写