Question

高一三角函数问题

已知函数f(t)=-sin^2t+sint+a
1.当f(t)=0时有实数解时，求实数a的取值范围
2.当t∈R时，有1≤f(t)≤17/4，求实数a的取值范围

Answer 1

1、
0=-sin^2t+sint+a
0=-(sin²t-sint+1/4 -1/4-a)
0=-[(sint-1/2)²-(1+4a)/4]
0=-(sint-1/2)² + (1+4a)/4
(sint-1/2)² =(1+4a)/4
因为
-1≤sint ≤1
1/4≤(sint-1/2)²≤9/4
则
1/4≤(1+4a)/4≤9/4
0≤a≤2

判别式≥0
1² +4a≥0
a≥-1/4

综上得，0≤a≤2

2、
y==-(sint-1/2)² + 1/4+a
∵-1≤sint≤1
当-(sint-1/2)² 为零时，y取最大 1/4+a
当-(sint-1/2)²最小时，y取最小 -(-1-1/2)²+1/4+a=a-2

那么有， 1/4 +a ≤17/4 ...① a-2≥1 ...②
解①得 a≤4 解②得 a≥3
则 3≤a≤4

Answer 2

1、当f(t)=0时，有a=sin^2t-sint，对sint进行配方，得到a的范围[-1/4,0]
2、同样对f(t)中的sint进行配方，代入到1≤f(t)≤17/4得到a的范围[3/4,17/4]