Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC,M为AB的中点，求证CM⊥DM

Answer 1

由于AB//CD,M为AB的中点，所以AM=AD,BM=BC,所以△AMD和△BMC都是等腰三角形，所以∠

ADM=∠AMD,∠BMC=∠BCM，又因为AB//CD,所以∠AMD=∠MDC,∠BMC=∠MCD,又因为AD//BC,∠ADC和∠BCD互为同旁内角，∠ADC+∠BCD=180°，即∠ADM+∠MDC+∠MCD+∠BCM=180°

，即2∠MDC+2∠MCD=180°。所以∠MDC+∠MCD=90°。所以∠DMC=90°。所以CM⊥DM 。

Answer 2

证明：在平行四 边形ABCD中，AD=BC，∵AB=2BC 且M为AB中点，
∴AM=AD， BM=BC，
则∠AMD=∠ADM， ∠BMC=∠BCM，
在△AMD 中，∠AMD+∠ADM+∠A=180°，∴∠A=180°-2∠AMD，
在△BMC中， ∠BMC+∠BCM+∠B=180°，∴∠B=180°-2∠BMC，
又∴ AD∥BC，
则∠A+∠B=180°（同旁内 角互补）
则180°-2∠AMD+180°-2∠BMC=180° ∴∠AMD+∠BMC=90°
而 ∠CMD=180°-(∠AMD+∠BMC)=90° ∴CM⊥DM。

Answer 3

延长DM,CB于一点N
可证得三角形AMD全等于三角形BMN
所以NB=AD
因为AB=2BC
可得CD=CN
因为DM=MN
所以CM是等腰三角形DCN中线
因为三线合一
所以CM垂直于DN
所以角CMD=90°

Answer 4

取CD的中点F，连接MF，BF，由AB=2BC,M为AB中点得MBCF为菱形，所以CM⊥BF
BM=DF且BM‖DF，所以MBFD是平行四边形，所以MD‖BF，所以CM⊥DM

Answer 5

∵AB=2BC,M为AB的中点
∴AD=AM BM=BC
∴△AMB和△BMC是等腰三角形。
∠A=180°-∠AMD-∠AMD=180°-2∠AMD
∠B=180°--∠BMC-∠BCM=180°-2∠BMC
∵因为平行四边形同旁内角互补
∴∠A+∠B=180°
180°-2∠AMD+180°-2∠BMC=180°
-2∠AMD-2∠BMC=-180°
-2∠AMD-2∠BMC=-180°
∠AMD+∠BMC=90°
∴∠DMC=-180°-∠AMD+∠BMC=180°-90°=90°
所以CM⊥DM