Question

①（1+½）×（1-½）×（1＋1/3）×（1-1/3）×（1+1/4）×（1-1/4）×......（1+1/99）×（

②2009×20102010＋2010×20092009

Answer 1

①（1+½）×（1-½）×（1＋1/3）×（1-1/3）×（1+1/4）×（1-1/4）×......（1+1/99）
＝ （1－1/2）×（1＋1/2）×（1－1/3）×（1＋1/3）×……×（1－1/99）×（1＋1/99）
＝1/2×3/2×2/3×4/3×3/4×……×98/99×100/99
＝1/2×100/99
＝50/99
②2009×20102010＋2010×20092009
＝2009×20102010＋2009×20092009＋20092009
＝2009×20102010＋2009×20092009＋2009×10001
＝2009×20102010＋2009×（20092009＋10001）
＝2009×20102010＋2009×20102010
我感觉这中间是减号

我看楼上做错了 怕误导你 最后如果是加 你自己算下得数 如果是减法 就等于0

Answer 2

这题有点难度，不是中学阶段可以解决的。
1×½+2×1/3+3×1/4……1000×1/1001
=(2-1)/2+(3-1)/3+(4-1)/4+...+(1001-1)/1001
=1-1/2+1-1/3+1-1/4+...1-1/1001
=1001-(1/2+...+1/1001) 【括号里的计算见===== 之间的】
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1/2+1/3...+1/1001是高等数学里面的调和级数，发散的。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +... 1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+... 注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲,如果An是个不含0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。
Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的：
根据Newton的幂级数有： ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是： 1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ... 代入x=1,2,...,n，
就给出： 1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ... 1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ... ...... 1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到： 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
后面那一串和都是收敛的，我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。
这个数字就是后来称作的欧拉常数。
不过遗憾的是，我们对这个常量还知之甚少，连这个数是有理数还是无理数都还是个谜。
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对于本题1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……+1/1001
=ln(1001+1)-1+C
=6.909-1+0.577
=6.486
原式=1001-6.486
=994.514

Answer 3

(1+½）×（1-½）×（1＋1/3）×（1-1/3）×（1+1/4）×（1-1/4）×......（1+1/99）×......
不知道你具体有多少项，我就当乘到99吧。不过方法都是一样的：
取乘积中奇数位置的，就是
(1+½）×1＋1/3）×（1+1/4）×......（1+1/99）×（......
=3/2*4/3*5/4*.....*100/99
=100/2=50
然后取偶数项，同样的得到1/2*......98/99=1/99
所以结果是50/99
2009×20102010＋2010×20092009
2009*10001*2010+2010*10001*2009
=10001*（2009*2010+2010*2009）
=10001*2*2009*2010
=80769876180