Question

偶函数f(x)在定义域为R，且在（-∞，0]上单调递减，求满足f (x^2+2x+3 ) ＞f (3x-4x^2-1 ) 的x的集

Answer 1

偶函数f(x)在定义域为R，且在（-∞，0]上单调递减，求满足f (x²+2x+3 ) ＞f (3x-4x²-1 ) 的x的
解集。
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，∴在(0，+∞）上单调递增。
x²+2x+3=(x+1)²+2≥2，∴对任何x都有f(x²+2x+3)≥f(2)=f(-2)成立。
-4x² +3x-1=-4(x²-3x/4)-1=-4[(x-3/8)²-9/64]-1=-4(x-3/8)²+9/16-1=-4(x-3/8)²-7/16≤-7/16.
∴对任何x都有f(3x-4x²-1)≥f(-7/16)成立。
故要使不等式f (x²+2x+3 ) ＞f (3x-4x²-1 ) 成立，必须：
x²+2x+3>-(-4x²+3x-1)=4x²-3x+1，即3x²-5x-2=(3x+1)(x-2)<0
从而得-1/3<x,2，这也就是原不等式的解。

Answer 2

|x^2+2x+3|＞|3x-4x^2-1|
x^2+2x+3=(x+1)²+2≥0
①x^2+2x+3>3x-4x^2-1
5x²-x+4>0,
x∈R都成立
②x^2+2x+3＞-(3x-4x^2-1)
3x²-5x-2<0
(3x+1)(x-2)<0
-1/3<x<2
综合①②得x∈(-1/3,2)