Question

已知x,y属于正实数，且x+y>2.用反正法证明：1＋x/y与1+y/x中至少有一个小于2,

Answer 1

假设(1+x/)y>=2,且(1+y)/x>=2 又x>0,y>0 则1+ x>=2y,且1+y>=2x 所以2+x+y>=2y+2x
2>=x+y 与2<x+y矛盾 所以假设不成立 ，原结论正确

Answer 2

证明
假设1＋x/y与1+y/x中都不小于2 （至少1个反过来是至多0个）
于是x/y>=1 y/x>=1
又X Y是正实数 x>=y y>=x 只能x=y
只是成立的 例如x=100 y=100
因而题目出错了 应该是小于等于2

Answer 3

取x＝y＝2:x+y＞2 1＋x/y＝1+y/x＝2不小于2, 题错，应为大于2

x/y×y/x＝1 常数，当x/y＝y/x＝1.,x＝y＝1时，x/y+y/x＝2是最小值，
此时x+y＝2.与x+y>2矛盾。∴x/y+y/x＞2 。x/y，y/x中至少有一个＞1。题成立

Answer 4

假设1 y/x和1 x/y都大于或等于2，则有(x y)/x>=2，又x，y为正实数，所以y>=x，同理可证：x>=y，所以x=y。因为这与x y>2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立

Answer 5

假设1＋x/y与1+y/x都小于2则（1＋x/y）+（1+y/x）<4
根据均值不等式（1＋x/y）+（1+y/x）>=2+2√2 (矛盾）