Question

在梯形ABCD中，AB平行CD，角BCD等于90度。且AB＝1，BC＝2，角ADC的正切等于2，对角线AC与BD相交于点O，等

解答： 解：（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一）（2）（1）中结论仍成立．证明如下：过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．∴AM=BC=2，MC=AB=1．∵tan∠ADC=2，∴ ．∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF=90°，CE=CF．∵∠BCD=∠ECF=90°，∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中， ，∴△DCE≌△BCF，∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，∴∠5=∠BCD=90°，∴DE⊥BF，∴线段DE和BF相等并且互相垂直．

（3）∵AB‖CD ，∴△AOB∽△COD，∴ ，
∵AB=1，CD=2，∴ ，在Rt△ABC中， ，
∴ ，同理可求得 ，∵ ，∴ ，
∴ ．∵BC=CD，∠BCD=90°，∴∠OBC=45°，由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，又∵∠3=∠OBC=45°∴△CPE∽△COB，∴ ，∴ ，
PE＝6分之根号10

Answer 1

解：（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一） （2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴DM=2 2 =1．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
DC=BC ∠DCE=∠BCF CE=CF ，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．

（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB CD =OA OC =OB OD ，
∵AB=1，CD=2，
∴OA OC =OB OD =1 2 ，
在Rt△ABC中，
AC= AB2+BC2 = 1+4 = 5 ，
∴OA= 5 3 ，
同理可求得OB=2 2 3 ，
∵OF= 5 6 ，
∴AF=OA+OF= 5 2 =AC 2 ，
∴CE=CF= 5 2 ．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴PE OB =CE BC ，
∴PE 2 2 3 = 5 2 2 ，
∴PE= 10 6 ．

Answer 2

解：（1）当三角板旋转到图1的位置时，DE=BF，
∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠DCE=∠BCF．
∵tan∠ADC=2，BC=2，AB=1，CD=2，
∴CD=BC．
∵EC=CF，
∴△DCE≌△BCF．
∴DE=BF．

（2）∵∠BEC=135°，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°．
∵BE：CE=1：2，
∴BE：EF=1：2 ．
∴sin∠BFE=BE：BF=3分之1 ．

（3）PE=6分之根号10 ，DH= 20分之7倍根号10．