Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点 求证：D1F垂直平面ADE

Answer 1

首先 AD垂直于平面CDD1C1（这是正方体的性质）
所以AD垂直于DF（因为DF属于平面CDD1）
取CC1的中点 设为G
AE平行于DG 所以 只要证明D1F垂直于DG 则命题得证

现在来证明D1F垂直于DG ：
首先 由于都是中点 由边的相互比例
有 三角形DD1F相似于三角形CDG
所以角DGC等于角D1FD
设DG和D1F的交点为H
则有角DHF等于角DCG 于是角DHF是直角
于是D1F垂直于DG

最终命题得证

自己画好图参考我说的看 立体几何是很麻烦

Answer 2

因为AD垂直于面DD1CC1,所以AD垂直于D1F
取CC1的中点E1，容易证EE1垂直于面DD1CC1，所以E1为E点在面DD1CC1上的投影，只需证明
D1F垂直于DE1，所以D1F垂直于DE
由前面两个结论，命题得证