Question

数学高手请进

在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

Answer 1

设底边为2x，高为y
由勾股定理得
x^2 ＋ y^2＝8^2＝64
因为，x，y均大于0
所以，x^2 ＋ y^2>=2xy
即，2xy<=64
当且仅当 x＝y时，等号成立
因为，长方形面积S＝2xy
所以，S<=64
所以，当底边＝8√2，高＝4√2时
长方形面积最大＝64

Answer 2

就以这个图为例，假设图中的半径和直径所夹锐角为x，(0<x<90度)
则长方形的宽为R*sinx = 8sinx，长为2*R*cosx=16cosx
所以面积S = 8sinx * 16cosx = 64sin2x <= 64
当且仅当x=45度时取等号。
此时有长方形的宽为8sin45 = 4倍根号2，长为16cos45 = 8倍根号2。

也可以根据勾股定理，假设长方形的长为a，宽为b，
则(a/2)^2 + b^2 = 64
所以64 = a^2 / 4 + b^2 >= 2*(a/2)*b = ab = S
当且仅当a/2 = b取等号，进而求得a,b的值。

希望有用。

Answer 3

设长方形高为8cosa，长为16sina
面积y=16sina*8cosa
=64sin2a
当a=45度时y即面积最大为64
长方形高均为4√2 ，长为8√2

Answer 4

面积最大的是正方形，边长x
x^2+(x/2)^2=8^2
x=16√5/5

Answer 5

圆的内接正方形的面积最大，所以半圆内长是宽的两倍即半径和宽之间的夹角为45度，则能满足面积最大。
则宽是8x根号2/2=4根号2. （长为2x4根号2=8根号2.
面积最大为4根号2x8根号2=64